I.9. Својства дељивости

Да бисмо објаснили зашто су ова тврђења тачна, користићемо основно својство дељивости које гласи: сваки делилац неког броја дели и све садржаоце тог броја. У језику скупова, ако број \( a \) дели број \( b \) (\( a \mid b \)), онда је скуп свих делилаца броја \( a \) подскуп скупа свих делилаца броја \( b \), односно \( D_a \subset D_b \).

а) \( D_6 \subset D_{48} \)

1. Провера дељивости

Прво проверавамо да ли број \( 6 \) дели број \( 48 \). Како је \( 48 = 6 \cdot 8 \), закључујемо да \( 6 \mid 48 \).

2. Примена својства

Пошто је \( 48 \) садржалац броја \( 6 \), сваки број који дели \( 6 \) мора делити и \( 48 \).

3. Закључак

Скуп делилаца броја 6 је \( D_6 = \{1, 2, 3, 6\} \). Сви ови бројеви деле и \( 48 \), па је \( D_6 \subset D_{48} \).

б) \( D_8 \subset D_{32} \)

1. Провера дељивости

Проверавамо да ли је \( 32 \) дељиво са \( 8 \). Пошто је \( 32 = 8 \cdot 4 \), закључујемо да \( 8 \mid 32 \).

2. Примена својства

Сваки делилац броја \( 8 \) је истовремено и делилац сваког његовог садржаоца, па тако и броја \( 32 \).

3. Закључак

Скуп делилаца броја 8 је \( D_8 = \{1, 2, 4, 8\} \). Сви ови елементи се налазе у скупу \( D_{32} \), дакле \( D_8 \subset D_{32} \).

в) \( D_{12} \subset D_{48} \)

1. Провера дељивости

Проверавамо дељивост броја \( 48 \) бројем \( 12 \). Како је \( 48 = 12 \cdot 4 \), важи \( 12 \mid 48 \).

2. Примена својства

Будући да \( 12 \) дели \( 48 \), сваки елемент скупа \( D_{12} \) је уједно и елемент скупа \( D_{48} \).

3. Закључак

На основу транзитивности дељивости, тврђење \( D_{12} \subset D_{48} \) је тачно.

а) \( 48 = 6 \cdot 8 \Rightarrow 6 \mid 48 \Rightarrow D_6 \subset D_{48} \) б) \( 32 = 8 \cdot 4 \Rightarrow 8 \mid 32 \Rightarrow D_8 \subset D_{32} \) в) \( 48 = 12 \cdot 4 \Rightarrow 12 \mid 48 \Rightarrow D_{12} \subset D_{48} \) Тврђења су тачна јер је сваки делилац неког броја истовремено и делилац свих његових садржаоца.