Најважније из лекције
- Дељивост производа: Ако \( a \mid b \) или \( a \mid c \), онда \( a \mid b \cdot c \). (Ако је један чинилац дељив, дељив је и производ).
- Дељивост садржаоца: Из \( a \mid b \) аутоматски следи \( a \mid kb \).
- Дељивост збира/разлике: Ако \( a \mid b \) и \( a \mid c \), онда \( a \mid (b \pm c) \).
- Недељивост збира/разлике: Ако број дели само један од два сабирка (или само умањеник/умањилац), онда не дели њихов збир/разлику.
- Пазите: Број може делити збир, чак и када не дели ниједан од појединачних сабирака!
Ако \( a \mid b \), онда \( a \mid kb \), за било који природан број \( k \).
(Сваки делилац неког броја дели и све садржаоце тог броја)
(Сваки делилац неког броја дели и све садржаоце тог броја)
Пошто \( 2 \mid 6 \), закључујемо да број 2 дели и све садржаоце броја 6. Дакле, \( 2 \mid 12 \), \( 2 \mid 18 \), \( 2 \mid 24 \) итд.
Транзитивност дељивости: Ако \( a \mid b \) и \( b \mid c \), онда \( a \mid c \).
Ако знамо да \( 5 \mid 15 \) и \( 15 \mid 45 \), шта можемо закључити о бројевима 5 и 45 на основу транзитивности?
На основу правила транзитивности, пошто број 5 дели 15, а 15 дели 45, закључујемо да \( 5 \mid 45 \).
Ако је бар један чинилац производа дељив бројем \( a \), онда је и производ дељив бројем \( a \).
Односно: Ако \( a \mid b \) или \( a \mid c \), онда \( a \mid b \cdot c \).
Односно: Ако \( a \mid b \) или \( a \mid c \), онда \( a \mid b \cdot c \).
Да бисмо закључили да ли \( 7 \mid 21 \cdot 10 \), довољно је да погледамо чиниоце. Пошто знамо да \( 7 \mid 21 \), правило нам говори да је и цео производ дељив са 7, тј. \( 7 \mid 210 \).
Да ли је производ \( 12 \cdot 35 \) дељив са 5? Објаснити.
Да, производ је дељив са 5. Објашњење: Чинилац 35 је дељив са 5 (\( 5 \mid 35 \)). Пошто је бар један чинилац дељив бројем 5, онда је и цео производ дељив бројем 5.
Ако \( a \mid b \) и \( a \mid c \), онда број \( a \) дели и њихов збир \( b + c \) и њихову разлику \( b - c \) (када је \( b > c \)).
- Пошто \( 8 \mid 80 \) и \( 8 \mid 16 \), онда \( 8 \mid (80 + 16) \), тј. \( 8 \mid 96 \).
- Пошто \( 7 \mid 700 \) и \( 7 \mid 21 \), онда \( 7 \mid (700 - 21) \), тј. \( 7 \mid 679 \).
Ово својство је веома корисно за проверу дељивости већих бројева тако што се они раставе на збир цифара и декадних јединица. На пример, \( 609 = 6 \cdot 100 + 9 \). Како \( 3 \mid 6 \cdot 100 \) и \( 3 \mid 9 \), онда \( 3 \mid 609 \).
Без израчунавања укупног збира, утврди да ли је израз \( 24 + 48 + 120 \) дељив са 12.
Да. Пошто \( 12 \mid 24 \), \( 12 \mid 48 \) и \( 12 \mid 120 \), закључујемо да 12 дели и њихов збир на основу својства дељивости збира.
Ако број \( a \) дели један сабирак, а не дели други, онда број \( a \) не дели њихов збир (нити разлику).
Ако \( a \mid b \) и \( a \nmid c \), онда \( a \nmid b + c \) и \( a \nmid b - c \).
Ако \( a \mid b \) и \( a \nmid c \), онда \( a \nmid b + c \) и \( a \nmid b - c \).
Важна напомена: Могуће је да неки број не дели појединачне сабирке, али ипак дели њихов збир!
На пример: \( 7 \nmid 10 \) и \( 7 \nmid 11 \), али \( 7 \mid (10 + 11) \), јер је \( 7 \mid 21 \).
На пример: \( 7 \nmid 10 \) и \( 7 \nmid 11 \), али \( 7 \mid (10 + 11) \), јер је \( 7 \mid 21 \).
Да ли важи да \( 4 \mid 16 + 5 \)?
Не важи. Пошто \( 4 \mid 16 \), али \( 4 \nmid 5 \), број 4 неће делити ни њихов збир. Дакле, \( 4 \nmid 21 \).
Задаци за вежбање
Лак: Испитај да ли важи тврђење: \( 9 \mid 27 \cdot 1 000 \). Објасни зашто.
Тврђење важи.
Објашњење: Пошто знамо да је први чинилац дељив са 9 (\( 9 \mid 27 \)), онда по правилу о дељивости производа следи да 9 дели и цео производ, без обзира на други чинилац.
Објашњење: Пошто знамо да је први чинилац дељив са 9 (\( 9 \mid 27 \)), онда по правилу о дељивости производа следи да 9 дели и цео производ, без обзира на други чинилац.
Средњи: Поступајући као у примерима за дељивост збира, разложи број на погодне сабирке и испитај да ли важи \( 8 \mid 864 \).
Број 864 можемо раставити као \( 800 + 64 \).
Проверавамо дељивост сабирака: \( 8 \mid 800 \) и \( 8 \mid 64 \).
Пошто 8 дели оба сабирка, онда дели и њихов збир. Дакле, \( 8 \mid 864 \) је тачно.
Проверавамо дељивост сабирака: \( 8 \mid 800 \) и \( 8 \mid 64 \).
Пошто 8 дели оба сабирка, онда дели и њихов збир. Дакле, \( 8 \mid 864 \) је тачно.
Средњи: Да ли израз \( 15 \cdot 4 + 11 \) даје резултат који је дељив са 5?
Анализирамо сабирке:
1. Први сабирак је производ \( 15 \cdot 4 \). Пошто \( 5 \mid 15 \), онда 5 дели и цео тај производ (\( 5 \mid 60 \)).
2. Други сабирак је 11. Број 5 не дели 11 (\( 5 \nmid 11 \)).
Како 5 дели први, а не дели други сабирак, он не може делити ни њихов збир.
Одговор: Резултат није дељив са 5.
1. Први сабирак је производ \( 15 \cdot 4 \). Пошто \( 5 \mid 15 \), онда 5 дели и цео тај производ (\( 5 \mid 60 \)).
2. Други сабирак је 11. Број 5 не дели 11 (\( 5 \nmid 11 \)).
Како 5 дели први, а не дели други сабирак, он не може делити ни њихов збир.
Одговор: Резултат није дељив са 5.
Тежак: Да ли постоје природни бројеви \( m \) и \( n \) такви да важи једнакост \( 4m + 6n = 2017 \)? Образложи одговор користећи особине дељивости.
Одговор је одричан.
Образложење: Анализирајмо леву страну једнакости. Сабирак \( 4m \) је дељив са 2, као и сабирак \( 6n \). Пошто су оба сабирка дељива са 2, онда је и њихов збир \( 4m + 6n \) дељив са 2 (тј. увек је паран број за било које природне бројеве \( m \) и \( n \)).
Са друге стране, број 2017 је непаран, односно није дељив са 2. Како паран број не може бити једнак непарном, такви природни бројеви не постоје.
Образложење: Анализирајмо леву страну једнакости. Сабирак \( 4m \) је дељив са 2, као и сабирак \( 6n \). Пошто су оба сабирка дељива са 2, онда је и њихов збир \( 4m + 6n \) дељив са 2 (тј. увек је паран број за било које природне бројеве \( m \) и \( n \)).
Са друге стране, број 2017 је непаран, односно није дељив са 2. Како паран број не може бити једнак непарном, такви природни бројеви не постоје.
