Најважније из лекције
Основни појам: Паралелограм је четвороугао чији су парови наспрамних страница паралелни (\( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \)).
Својство страница: Наспрамне странице су увек једнаке. (Пример: Ако је једна страница \( 8 \text{ cm} \), и њена наспрамна страница је \( 8 \text{ cm} \)).
Својство дијагонала: Дијагонале се секу у једној тачки и међусобно се полове. (Пример: Дијагонала од \( 12 \text{ cm} \) се пресеком дели на два дела од по \( 6 \text{ cm} \)).
Симетрија: Пресек дијагонала представља центар симетрије паралелограма.
Својство страница: Наспрамне странице су увек једнаке. (Пример: Ако је једна страница \( 8 \text{ cm} \), и њена наспрамна страница је \( 8 \text{ cm} \)).
Својство дијагонала: Дијагонале се секу у једној тачки и међусобно се полове. (Пример: Дијагонала од \( 12 \text{ cm} \) се пресеком дели на два дела од по \( 6 \text{ cm} \)).
Симетрија: Пресек дијагонала представља центар симетрије паралелограма.
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне.
Основне компоненте паралелограма \( ABCD \) су:
- Темена: Тачке \( A, B, C \) и \( D \).
- Странице: Дужи \( AB, BC, CD \) и \( DA \).
- Наспрамне странице: Странице које се налазе на паралелним правама и немају заједничко теме (нпр. \( AB \) и \( CD \), као и \( BC \) и \( AD \)).
- Суседне странице: Странице које имају једно заједничко теме (нпр. \( AB \) и \( BC \)).
- Дијагонале: Дужи које спајају наспрамна темена (\( AC \) и \( BD \)).
Наспрамне странице паралелограма су међусобно једнаке. Такође важи и обрнуто: ако су сваке две наспрамне странице неког четвороугла једнаке, тај четвороугао је паралелограм.
\[ AB \parallel CD, \quad AD \parallel BC \iff AB = CD, \quad AD = BC \]
Ако знамо да је фигура паралелограм и њена страница \( AB \) износи \( 7 \text{ cm} \), аутоматски знамо да и њена наспрамна страница \( CD \) износи \( 7 \text{ cm} \).
Дијагонале паралелограма се међусобно полове (њихова пресечна тачка их дели на два једнака дела). Обрнуто, ако се дијагонале четвороугла полове, тај четвороугао је паралелограм.
Нека је \( O \) тачка у којој се секу дијагонале \( AC \) и \( BD \):
\[ AO = OC, \quad BO = OD \]
Паралелограм је централносиметрична фигура. Центар симетрије је управо тачка пресека његових дијагонала.
Две једнаке и паралелне дужи у равни увек одређују паралелограм.
Ако имамо две дужи \( AB \) и \( CD \) за које важи да су паралелне (\( AB \parallel CD \)) и једнаке дужине (\( AB = CD \)), спајањем њихових крајева добијамо паралелограм \( ABCD \). Ово се заснива на правилу да се дуж транслацијом пресликава у себи једнаку и паралелну дуж.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Дат је паралелограм \( ABCD \). Ако је дужина странице \( AB = 10 \text{ cm} \), а странице \( BC = 6 \text{ cm} \), колике су дужине страница \( CD \) и \( AD \)?
Према правилу, наспрамне странице паралелограма су једнаке.
Страница наспрам \( AB \) је \( CD \), па је \( CD = AB = 10 \text{ cm} \).
Страница наспрам \( BC \) је \( AD \), па је \( AD = BC = 6 \text{ cm} \).
Страница наспрам \( AB \) је \( CD \), па је \( CD = AB = 10 \text{ cm} \).
Страница наспрам \( BC \) је \( AD \), па је \( AD = BC = 6 \text{ cm} \).
Задатак 2 (Средњи): Дијагонале паралелограма \( ABCD \) секу се у тачки \( O \). Ако је дужина целе дијагонале \( AC = 14 \text{ cm} \), а дужина дела друге дијагонале \( BO = 5 \text{ cm} \), израчунај дужине дужи \( AO \) и целе дијагонале \( BD \).
Дијагонале паралелограма се међусобно полове у тачки \( O \).
То значи да тачка \( O \) дели дијагоналу \( AC \) на два једнака дела: \[ AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} \] Такође, \( O \) дели дијагоналу \( BD \) на два једнака дела, па је \( BO = OD \). Како је \( BO = 5 \text{ cm} \), цела дијагонала је: \[ BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \]
То значи да тачка \( O \) дели дијагоналу \( AC \) на два једнака дела: \[ AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ cm} \] Такође, \( O \) дели дијагоналу \( BD \) на два једнака дела, па је \( BO = OD \). Како је \( BO = 5 \text{ cm} \), цела дијагонала је: \[ BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \]
Задатак 3 (Тежак): Обим паралелограма износи \( 36 \text{ cm} \). Једна његова страница је за \( 4 \text{ cm} \) дужа од своје суседне странице. Израчунај дужине свих страница овог паралелограма.
Обележимо краћу страницу са \( a \). Тада је дужа страница \( b = a + 4 \).
Формула за обим паралелограма (пошто има два пара једнаких страница) је: \[ O = 2a + 2b \] Замењујемо познате вредности: \[ 36 = 2a + 2(a + 4) \] \[ 36 = 2a + 2a + 8 \] \[ 36 = 4a + 8 \] \[ 4a = 28 \implies a = 7 \text{ cm} \] Дужа страница је \( b = 7 + 4 = 11 \text{ cm} \).
Одговор: Дужине страница паралелограма су \( 7 \text{ cm} \), \( 11 \text{ cm} \), \( 7 \text{ cm} \) и \( 11 \text{ cm} \).
Формула за обим паралелограма (пошто има два пара једнаких страница) је: \[ O = 2a + 2b \] Замењујемо познате вредности: \[ 36 = 2a + 2(a + 4) \] \[ 36 = 2a + 2a + 8 \] \[ 36 = 4a + 8 \] \[ 4a = 28 \implies a = 7 \text{ cm} \] Дужа страница је \( b = 7 + 4 = 11 \text{ cm} \).
Одговор: Дужине страница паралелограма су \( 7 \text{ cm} \), \( 11 \text{ cm} \), \( 7 \text{ cm} \) и \( 11 \text{ cm} \).
