II.9. Паралелограм

Корак 1: Цртамо паралелограм

Цртамо произвољан паралелограм \( ABCD \). Наспрамне странице су му паралелне и једнаке: \( AB \parallel CD \), \( AD \parallel BC \).
Нацртај произвољан паралелограм ABCD. Започни постављањем тачке A у доњем левом делу цртежа. Затим нацртај дуж AB, где је тачка B десно од A. Нацртај дуж CD која је паралелна дужи AB и има исту дужину као AB, при чему је тачка D изнад и лево од тачке A, а тачка C је изнад и десно од тачке B. Споји крајеве AD и BC да довршиш паралелограм. Осигурај да су сва четири темена (A, B, C, D) јасно означена и да су распоређена у смеру супротном од казаљке на сату, почевши од A у доњем левом углу. Код транслације паралелограма пресликавамо његова темена \( A, B, C, D \). Њихове слике су \( A_1, B_1, C_1, D_1 \). Затим те слике спајамо истим редоследом.

1) Вектор \( \overrightarrow{AB} \)

Корак 1: Правац, смер и интензитет вектора

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) има правац праве \( p(A,B) \), смер од \( A \) ка \( B \) и интензитет једнак дужи \( AB \).

Корак 2: Паралелне полуправе кроз темена

Кроз сваку тачку конструишемо помоћу два лењира полуправу паралелну са \( p(A,B) \). Полуправе усмеравамо као вектор, од \( A \) ка \( B \).

Корак 3: Преносимо дужину \( AB \)

Отвором шестара узимамо дужину \( AB \). Из сваког темена повлачимо лук тог полупречника који сече одговарајућу полуправу: \[ k(A, AB) \cap \text{полуправа} = A_1, \quad k(B, AB) \cap \text{полуправа} = B_1, \ldots \] Тачка \( A \) лежи на правој вектора, па је њена слика \( A_1 = B \). Због \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \) слика тачке \( D \) је тачка \( C \), односно \( D_1 = C \). Тачке \( B_1 \) и \( C_1 \) су нове тачке.
Нацртај паралелограм ABCD као на цртежу 1 (A доле лево, B десно од A, D изнад и лево од C, C изнад и десно од B). Нацртај усмерену дуж од A ка B са стрелицом у B. Паралелограм ABCD нацртај пуном линијом, а његову слику другом бојом или испрекидано. Тачку B_1 обележи на правој p(A,B), десно од B, тако да је BB_1 = AB. Тачку C_1 обележи десно од C, тако да је CC_1 = AB и C_1 лежи на правој паралелној са AB кроз C. Остале слике су A_1 = B и D_1 = C. Споји A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1 и D_1A_1. Означи сва темена слике. Слика је паралелограм A_1B_1C_1D_1 који је „поред” почетног паралелограма (заједничка му је страница BC).

Корак 4: Спајамо слике темена

Лењиром спајамо тачке \( A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1 \) и добијамо паралелограм \( A_1B_1C_1D_1 \).

2) Вектор \( \overrightarrow{CD} \)

Корак 1: Правац, смер и интензитет вектора

Вектор \( \overrightarrow{CD} \) има правац праве \( p(C,D) \), смер од \( C \) ка \( D \) и интензитет једнак дужи \( CD \). Како је \( AB \parallel CD \), све тачке померамо паралелно са страницом \( AB \). Померање је улево, јер вектор иде од \( C \) ка \( D \).

Корак 2: Паралелне полуправе кроз темена

Кроз \( A, B, C, D \) конструишемо полуправе паралелне са \( p(C,D) \) у смеру од \( C \) ка \( D \).

Корак 3: Преносимо дужину \( CD \)

Отвором шестара узимамо дужину \( CD \) и из сваког темена повлачимо лук који сече његову полуправу. Тако добијамо \( A_1 \) и \( D_1 \) лево од \( A \) и \( D \). Како је \( CD = AB \), слика тачке \( B \) је тачка \( A \), а слика тачке \( C \) је тачка \( D \). Дакле \( B_1 = A \) и \( C_1 = D \).
Нацртај паралелограм ABCD као на цртежу 1. Нацртај усмерену дуж од C ка D са стрелицом у D (налево). Паралелограм ABCD нацртај пуном линијом, а његову слику другом бојом или испрекидано. Тачку A_1 обележи лево од A на правој p(A,B), тако да је AA_1 = CD. Тачку D_1 обележи лево од D на правој p(C,D), тако да је DD_1 = CD. Остале слике су B_1 = A и C_1 = D. Споји A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1 и D_1A_1. Означи сва темена слике. Слика је паралелограм A_1B_1C_1D_1 лево од почетног, са заједничком страницом AD.

Корак 4: Спајамо слике темена

Спајамо \( A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1 \) и добијамо паралелограм \( A_1B_1C_1D_1 \).

3) Вектор \( \overrightarrow{BC} \)

Корак 1: Правац, смер и интензитет вектора

Вектор \( \overrightarrow{BC} \) има правац праве \( p(B,C) \), смер од \( B \) ка \( C \) и интензитет једнак дужи \( BC \).

Корак 2: Паралелне полуправе кроз темена

Кроз \( A, B, C, D \) конструишемо полуправе паралелне са \( p(B,C) \) у смеру од \( B \) ка \( C \).

Корак 3: Преносимо дужину \( BC \)

Отвором шестара узимамо дужину \( BC \) и из сваког темена повлачимо лук који сече његову полуправу. Тачка \( B \) лежи на правој вектора, па је \( B_1 = C \). Како је \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), слика тачке \( A \) је тачка \( D \), односно \( A_1 = D \). Нове тачке су \( C_1 \) и \( D_1 \).
Нацртај паралелограм ABCD као на цртежу 1. Нацртај усмерену дуж од B ка C са стрелицом у C (нагоре и десно). Паралелограм ABCD нацртај пуном линијом, а његову слику другом бојом или испрекидано. Тачку C_1 обележи на правој p(B,C), изнад C, тако да је CC_1 = BC. Тачку D_1 обележи на правој p(A,D), изнад D, тако да је DD_1 = BC. Остале слике су A_1 = D и B_1 = C. Споји A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1 и D_1A_1. Означи сва темена слике. Слика је паралелограм A_1B_1C_1D_1 изнад почетног, са заједничком страницом CD.

Корак 4: Спајамо слике темена

Спајамо \( A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1 \) и добијамо паралелограм \( A_1B_1C_1D_1 \).

4) Вектор \( \overrightarrow{AC} \)

Корак 1: Правац, смер и интензитет вектора

Вектор \( \overrightarrow{AC} \) је одређен дијагоналом \( AC \). Има правац праве \( p(A,C) \), смер од \( A \) ка \( C \) и интензитет једнак дужи \( AC \).

Корак 2: Паралелне полуправе кроз темена

Кроз \( A, B, C, D \) конструишемо полуправе паралелне са \( p(A,C) \) у смеру од \( A \) ка \( C \).

Корак 3: Преносимо дужину \( AC \)

Отвором шестара узимамо дужину дијагонале \( AC \) и из сваког темена повлачимо лук који сече његову полуправу. Тачка \( A \) лежи на правој вектора, па је \( A_1 = C \). Тачке \( B_1, C_1, D_1 \) су нове.
Нацртај паралелограм ABCD као на цртежу 1. Нацртај дијагоналу AC и усмерену дуж од A ка C са стрелицом у C. Паралелограм ABCD нацртај пуном линијом, а његову слику другом бојом или испрекидано. Кроз B, C и D повуци полуправе паралелне са p(A,C) у смеру од A ка C. На свакој од њих луком из одговарајућег темена отвором шестара AC обележи слику: B_1, C_1, D_1, тако да је BB_1 = CC_1 = DD_1 = AC. Слика тачке A је A_1 = C. Споји A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1 и D_1A_1. Означи сва темена слике. Слика је паралелограм A_1B_1C_1D_1 горе десно од почетног, који се са њим додирује само у тачки C = A_1.

Корак 4: Спајамо слике темена

Спајамо \( A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1 \) и добијамо паралелограм \( A_1B_1C_1D_1 \).

1)

\[ A_1 = B, \; D_1 = C, \; BB_1 = CC_1 = AB \]

2)

\[ B_1 = A, \; C_1 = D, \; AA_1 = DD_1 = CD \]

3)

\[ A_1 = D, \; B_1 = C, \; CC_1 = DD_1 = BC \]

4)

\[ A_1 = C, \; BB_1 = CC_1 = DD_1 = AC \]