III.1. Појам Угла

Основни кораци преношења угла

Да бисмо пренели произвољан угао на задату полуправу помоћу лењира и шестара: 1. Из темена датог угла опишемо кружни лук произвољног полупречника \( r \). 2. Из темена на коме конструишемо угао опишемо лук истог тог полупречника \( r \), тако да пресече дату полуправу. 3. Шестаром измеримо тетиву датог угла (растојање између пресечних тачака лука и кракова угла). 4. Забодемо иглу шестара у пресечну тачку на datoj полуправи и луком пресечемо претходно нацртани лук. 5. Кроз добијени пресек и теме повучемо тражену полуправу.

1)

Нацртај хоризонталну дуж \( AB \). Из темена \( A \) нацртај полуправу \( Aa \) која се простире изнад дужи \( AB \), формирајући угао \( \alpha \) са дужи \( AB \). Означи угао \( \alpha \) између дужи \( AB \) и полуправе \( Aa \). Из темена \( B \) нацртај полуправу \( Bb \) која се простире испод дужи \( AB \), формирајући угао \( \beta \) са дужи \( AB \) (тј. са супротне стране дужи \( AB \) у односу на полуправу \( Aa \)). Означи угао \( \beta \) између дужи \( AB \) и полуправе \( Bb \).

Конструкција полуправих \( Aa \) и \( Bb \)

1. Нацртамо дуж \( AB \). 2. Опишемо кружни лук произвољног полупречника \( r \) из темена угла \( \alpha \), и истим полупречником лук из тачке \( A \) изнад дужи \( AB \). Шестаром пренесемо тетиву угла \( \alpha \) са дужи \( AB \) нагоре и повучемо полуправу \( Aa \), тако да је \( \measuredangle BAa = \alpha \). 3. Опишемо кружни лук полупречника \( r_1 \) из темена угла \( \beta \), и истим полупречником лук из тачке \( B \) испод дужи \( AB \). Шестаром пренесемо тетиву угла \( \beta \) са дужи \( AB \) надоле и повучемо полуправу \( Bb \), тако да је \( \measuredangle ABb = \beta \).

2)

Нацртај почетну тачку \( O \). Из тачке \( O \) нацртај хоризонталну полуправу \( Ox \) која се протеже удесно. Око тачке \( O \), нацртај први кружни лук са произвољним радијусом \( R \). Овај лук треба да полази од полуправе \( Ox \) и да се протеже нагоре (у горњу полураван). На овом луку, тачка \( y \) се конструише преношењем тетиве угла \( \alpha \). Затим нацртај полуправу \( Oy \) која пролази кроз тачке \( O \) и \( y \), тако да формира угао \( \alpha = \measuredangle xOy \). Са супротне стране полуправе \( Ox \) (тј. надоле, у доњу полураван), око тачке \( O \), нацртај други кружни лук истог радијуса \( R \). Овај лук такође треба да полази од полуправе \( Ox \). На овом другом луку, тачка \( z \) се конструише преношењем тетиве угла \( \beta \). Затим нацртај полуправу \( Oz \) која пролази кроз тачке \( O \) и \( z \), тако да формира угао \( \beta = \measuredangle xOz \). Обележи углове \( \alpha \) и \( \beta \) њиховим симболима.

Конструкција полуправих \( Oy \) и \( Oz \)

1. Нацртамо полуправу \( Ox \). 2. Из тачке \( O \) опишемо лук изнад полуправе \( Ox \) полупречником лука угла \( \alpha \). Нанесемо тетиву угла \( \alpha \) на тај лук и кроз пресек повучемо полуправу \( Oy \), чиме добијамо \( \measuredangle xOy = \alpha \). 3. Из тачке \( O \) опишемо лук испод полуправе \( Ox \) полупречником лука угла \( \beta \). Нанесемо тетиву угла \( \beta \) на тај лук у супротну полураван и кроз пресек повучемо полуправу \( Oz \), чиме добијамо \( \measuredangle xOz = \beta \).

3)

Нацртај опружену линију, представљену полуправама \( Tt_1 \) и \( Tt_2 \) које полазе из темена \( T \) и протежу се у супротним смеровима (нпр. \( Tt_1 \) хоризонтално лево, \( Tt_2 \) хоризонтално десно). Око тачке \( T \) нацртај један кружни лук који пресеца све четири полуправе. Са горње стране ове опружене линије, конструиши полуправу \( Tp \) тако да формира угао \( \alpha \) са полуправом \( Tt_1 \). Затим, такође са горње стране ове опружене линије, конструиши полуправу \( Tq \) тако да формира угао \( \beta \) са полуправом \( Tt_2 \). Означи угао између \( Tt_1 \) и \( Tp \) као \( \alpha \), и угао између \( Tt_2 \) и \( Tq \) као \( \beta \).

Конструкција полуправих \( Tp \) и \( Tq \)

1. Нацртамо праву линију и на њој изаберемо тачку \( T \), чиме добијамо наспрамне полуправе \( Tt_1 \) и \( Tt_2 \) које образују опружену угаону линију. 2. Са исте (нпр. горње) стране опружене линије конструишемо полуправу \( Tp \) из темена \( T \) према полуправи \( Tt_1 \), тако што пренесемо угао \( \alpha \) помоћу лука и тетиве, па је \( \measuredangle t_1Tp = \alpha \). 3. Са исте те горње стране опружене линије конструишемо полуправу \( Tq \) из темена \( T \) према полуправи \( Tt_2 \), тако што пренесемо угао \( \beta \) помоћу лука и тетиве, па је \( \measuredangle t_2Tq = \beta \).

1)

\[ \measuredangle BAa = \alpha, \quad \measuredangle ABb = \beta \]

2)

\[ \measuredangle xOy = \alpha, \quad \measuredangle xOz = \beta \]

3)

\[ \measuredangle t_1Tp = \alpha, \quad \measuredangle t_2Tq = \beta \]