Најважније из лекције
- Конструктивно сабирање се врши надовезивањем углова помоћу шестара (спајањем крака уз крак, тако да им се области не преклапају).
- Вишеструки угао (нпр. \( 3\alpha \)) добија се узастопним надовезивањем истог угла самог на себе.
- Упоређивање се врши преклапањем једног крака и темена; мањи угао "упада" унутар већег угла.
- Конструктивно одузимање се врши преношењем мањег угла унутар области већег угла. Део већег угла који преостане након тога представља разлику.
Суседни (надовезани) углови су два угла која имају заједничко теме и један заједнички крак, а њихове унутрашње области немају заједничких тачака.
Два угла надовезујемо (сабирамо) тако што уз помоћ шестара и лењира конструишемо угао који је подударан (једнак) једном од датих углова, а суседан је са другим углом.
Унија суседних углова, које добијамо надовезивањем нека два угла, представља збир тих углова.
\[ \angle aOc = \angle aOb + \angle bOc \]
Као што је множење скраћено сабирање, тако можемо конструисати угао који је вишеструко већи од почетног угла узастопним надовезивањем истог угла самог на себе.
На пример, да бисмо конструисали угао \( 3\varphi \), полазни угао \( \varphi \) конструишемо, а затим на њега надовежемо још два таква угла: \( \varphi + \varphi + \varphi \).
Ако се један угао може пренети у област другог угла тако да им се поклопе темена и по један крак, али не долази до потпуног поклапања, онда је угао чија се област налази унутар другог угла мањи.
Да бисмо од већег угла одузели мањи, мањи угао преносимо помоћу шестара унутар области већег угла тако да имају заједничко теме и један заједнички крак. Преостали део већег угла представља њихову разлику.
\[ \angle xOb = \angle aOb - \angle pSq \]
Ако желимо да конструишемо угао \( 2\beta - \alpha \), прво ћемо надовезивањем конструисати угао \( 2\beta \), а затим ћемо унутар његове области пренети (одузети) угао \( \alpha \).
Задаци за вежбање
Лак: Дати су углови \( \alpha \) и \( \beta \). Ако их конструктивно саберемо, добијамо угао \( \gamma \). Какав је положај углова \( \alpha \) и \( \beta \) унутар угла \( \gamma \)?
Углови \( \alpha \) и \( \beta \) су надовезани (суседни). Имају заједничко теме и један заједнички крак, а њихове унутрашње области се не преклапају.
Средњи: Дати су углови \( \alpha \) и \( \beta \). Опиши редослед корака за конструкцију угла \( \varphi = 2\alpha + \beta \).
1. Нацртамо полуправу која ће бити почетни крак.
2. Пренесемо угао \( \alpha \) на ту полуправу помоћу шестара.
3. Надовежемо још један угао \( \alpha \) на претходни како бисмо добили угао \( 2\alpha \).
4. На крајњи крак угла \( 2\alpha \) надовежемо (споља) угао \( \beta \).
Укупан добијени угао је \( \varphi = 2\alpha + \beta \).
2. Пренесемо угао \( \alpha \) на ту полуправу помоћу шестара.
3. Надовежемо још један угао \( \alpha \) на претходни како бисмо добили угао \( 2\alpha \).
4. На крајњи крак угла \( 2\alpha \) надовежемо (споља) угао \( \beta \).
Укупан добијени угао је \( \varphi = 2\alpha + \beta \).
Тежак: Да ли је у класичној геометрији могуће конструисати разлику \( \alpha - \beta \) уколико важи да је \( \alpha < \beta \)? Објасни зашто.
Није могуће. Да би се угао \( \beta \) конструктивно одузео од угла \( \alpha \), он мора бити пренет унутар области угла \( \alpha \). То је геометријски немогуће урадити ако је \( \beta \) већи од \( \alpha \), јер би његов крак изашао ван области угла \( \alpha \).
