Задатак 1. На слици десно дате су дужи \( AB \) и \( CD \). Конструиши у свесци дужи: 1) \( AB + CD \); 2) \( AB - CD \); 3) \( 2AB + CD \); 4) \( 2AB - CD \).

За решавање овог задатка користићемо основне конструкције шестаром и лењиром за преношење, сабирање и одузимање дужи на полуправој. Нацртај две произвољне дужи AB и CD тако да је AB дужа од CD. Ове дужи ће служити као основни елементи за све даље конструкције. 1) Конструкција дужи \( AB + CD \) Сабирање дужи вршимо тако што их надовезујемо једну на другу на истој полуправој. Корак 1: Цртање почетне полуправе Нацртај полуправу са почетном тачком \( O \). Корак 2: Преношење прве дужи Шестаром и...

Задатак 2. На слици десно дати су углови \( \varphi \) и \( \psi \). Пренеси у свеску дате углове, а затим конструиши угао: 1) \( \varphi + \psi \); 2) \( 2\varphi \); 3) \( 2\varphi + \psi \); 4) \( \varphi + 2\psi \).

Корак 1: Припрема за конструкцију Пре него што почнемо са сабирањем, потребно је да припремимо дате углове \( \varphi \) и \( \psi \). Нацртаћемо их произвољно (као на слици) и описати кружни лук истог полупречника \( r \) из темена оба угла. Тај исти полупречник користићемо за све конструкције. Нацртај два оштра угла, обележи их са фи и пси. Шестаром опиши лук произвољног полупречника r тако да сече оба крака сваког угла. Корак 2: Конструкција збира \( \varphi + \psi \) Да бисмо конструисали з...

Конструктивно сабирање и одузимање углова

Изабери решење задатка:

1) \( \psi - \varphi \)


\[ \angle pOq = \psi \]
\[ \angle rOq = \varphi \]
\[ \angle pOr = \angle pOq - \angle rOq \]
\[ \angle pOr = \psi - \varphi \]

2) \( 2\psi - \varphi \)

\[ \angle sOb = 2 \cdot \psi \]
\[ \angle tOb = \varphi \]
\[ \angle sOt = \angle sOb - \angle tOb \]
\[ \angle sOt = 2\psi - \varphi \]

Корак 1: Преношење углова \( \varphi \) и \( \psi \)
Први део задатка захтева да у свеску пренесемо углове \( \varphi \) и \( \psi \) који су приказани у претходном задатку у уџбенику.

Нацртајте два одвојена, независна угла, постављена један поред другог.
Први угао је означен као \( \varphi \). Његово теме је у тачки A. Кракови угла су полуправа AX (хоризонтална, усмерена удесно) и полуправа AB (усмерена нагоре под углом). Угао \( \varphi \) је формиран између ове две полуправе.
Други угао је означен као \( \psi \). Његово теме је у тачки C, која је десно од тачке A. Кракови угла су полуправа CY (хоризонтална, усмерена удесно) и полуправа CD (усмерена нагоре под углом, при чему је угао \( \psi \) визуелно већи од угла \( \varphi \)). Угао \( \psi \) је формиран између ове две полуправе.
Оба угла треба да буду приказана без икаквих додатних конструкцијских ознака, као јасни примери датих углова.

Корак 2: Конструкција угла \( \psi - \varphi \)
Одузимање углова конструктивно се врши тако што мањи угао (\( \varphi \)) пренесемо у област већег угла (\( \psi \)), почевши од једног његовог крака.
1. Нацртај почетну полуправу \( Op \).
2. Шестаром, чији је отвор једнак полупречнику \( r \), опиши кружни лук из почетне тачке \( O \).
3. Измери шестаром дужину тетиве угла \( \psi \) (растојање између пресечних тачака лука и кракова угла \( \psi \)).
4. Забоди шестар у тачку пресека полуправе \( Op \) и лука, па нанеси ту тетиву на лук. Кроз добијену тачку повуци помоћни крак \( Oq \). Сада је \( \angle pOq = \psi \).
5. Измери шестаром дужину тетиве мањег угла \( \varphi \).
6. Забоди шестар у пресечну тачку лука и крака \( Oq \), па пресеци лук "уназад", према полуправи \( Op \) (у унутрашњост угла \( \psi \)).
7. Кроз добијену тачку на луку повуци крак \( Or \).
Угао који чине полуправе \( Op \) и \( Or \) представља тражену разлику.

Нацртај полуправу, лук полупречника \(r\), затим нанеси тетиву угла \(\psi\), па се врати уназад наносећи тетиву угла \(\varphi\). Означи добијени угао као \(\psi - \varphi\).

Корак 3: Конструкција угла \( 2\psi - \varphi \)
Ова конструкција се састоји из два дела: прво сабирамо два угла \( \psi \) (надовезивањем), а затим од тог збира одузимамо угао \( \varphi \).
1. Нацртај нову полуправу \( Os \) и из тачке \( O \) опиши кружни лук полупречника \( r \).
2. Измери тетиву угла \( \psi \) и нанеси је из пресечне тачке на луку. Затим из те нове тачке нанеси тетиву угла \( \psi \) још једном у истом смеру. Добићеш тачку кроз коју пролази помоћни крак \( Ob \). Угао \( \angle sOb \) сада износи \( 2\psi \).
3. Измери тетиву угла \( \varphi \).
4. Забоди шестар у последњу тачку пресека на луку (која лежи на краку \( Ob \)) и пресеци лук уназад, према унутрашњости конструисаног угла \( 2\psi \).
5. Кроз ту тачку повуци завршни крак \( Ot \).
Угао између кракова \( Os \) и \( Ot \) представља тражени израз.

Нацртај полуправу и лук. Нанеси тетиву угла \(\psi\) два пута заредом. Из последње тачке се врати уназад за дужину тетиве угла \(\varphi\). Означи крајњи угао.

Кратак запис решења:

1) \( \psi - \varphi \)

\[ \angle pOr = \psi - \varphi \]

2) \( 2\psi - \varphi \)

\[ \angle sOt = 2\psi - \varphi \]

Најважније из лекције

Конструктивно сабирање се врши надовезивањем углова помоћу шестара (спајањем крака уз крак, тако да им се области не преклапају).
Вишеструки угао (нпр. \( 3\alpha \)) добија се узастопним надовезивањем истог угла самог на себе.
Упоређивање се врши преклапањем једног крака и темена; мањи угао "упада" унутар већег угла.
Конструктивно одузимање се врши преношењем мањег угла унутар области већег угла. Део већег угла који преостане након тога представља разлику.

Суседни (надовезани) углови су два угла која имају заједничко теме и један заједнички крак, а њихове унутрашње области немају заједничких тачака.

Два угла надовезујемо (сабирамо) тако што уз помоћ шестара и лењира конструишемо угао који је подударан (једнак) једном од датих углова, а суседан је са другим углом.

Унија суседних углова, које добијамо надовезивањем нека два угла, представља збир тих углова.

\[ \angle aOc = \angle aOb + \angle bOc \]

Графички приказ два угла са заједничким теменом и краком (надовезани углови). Приказ конструкције збира два угла помоћу шестара преношењем кружних лукова и њихових тетива тако да се углови надовежу један на други.

Као што је множење скраћено сабирање, тако можемо конструисати угао који је вишеструко већи од почетног угла узастопним надовезивањем истог угла самог на себе.

На пример, да бисмо конструисали угао \( 3\varphi \), полазни угао \( \varphi \) конструишемо, а затим на њега надовежемо још два таква угла: \( \varphi + \varphi + \varphi \).

Ако се један угао може пренети у област другог угла тако да им се поклопе темена и по један крак, али не долази до потпуног поклапања, онда је угао чија се област налази унутар другог угла мањи.

Да бисмо од већег угла одузели мањи, мањи угао преносимо помоћу шестара унутар области већег угла тако да имају заједничко теме и један заједнички крак. Преостали део већег угла представља њихову разлику.

\[ \angle xOb = \angle aOb - \angle pSq \]

Конструкција разлике два угла: мањи угао се преноси унутар већег угла помоћу шестара, поклапајући један крак. Преостали део већег угла је јасно означен као разлика та два угла.

Ако желимо да конструишемо угао \( 2\beta - \alpha \), прво ћемо надовезивањем конструисати угао \( 2\beta \), а затим ћемо унутар његове области пренети (одузети) угао \( \alpha \).

Задаци за вежбање

Лак: Дати су углови \( \alpha \) и \( \beta \). Ако их конструктивно саберемо, добијамо угао \( \gamma \). Какав је положај углова \( \alpha \) и \( \beta \) унутар угла \( \gamma \)?

Углови \( \alpha \) и \( \beta \) су надовезани (суседни). Имају заједничко теме и један заједнички крак, а њихове унутрашње области се не преклапају.

Средњи: Дати су углови \( \alpha \) и \( \beta \). Опиши редослед корака за конструкцију угла \( \varphi = 2\alpha + \beta \).

1. Нацртамо полуправу која ће бити почетни крак.
2. Пренесемо угао \( \alpha \) на ту полуправу помоћу шестара.
3. Надовежемо још један угао \( \alpha \) на претходни како бисмо добили угао \( 2\alpha \).
4. На крајњи крак угла \( 2\alpha \) надовежемо (споља) угао \( \beta \).
Укупан добијени угао је \( \varphi = 2\alpha + \beta \).

Тежак: Да ли је у класичној геометрији могуће конструисати разлику \( \alpha - \beta \) уколико важи да је \( \alpha < \beta \)? Објасни зашто.

Није могуће. Да би се угао \( \beta \) конструктивно одузео од угла \( \alpha \), он мора бити пренет унутар области угла \( \alpha \). То је геометријски немогуће урадити ако је \( \beta \) већи од \( \alpha \), јер би његов крак изашао ван области угла \( \alpha \).

III.2. Конструктивно сабирање и одузимање углова

Изабери решење задатка:

1) \( \psi - \varphi \)

2) \( 2\psi - \varphi \)

Корак 1: Преношење углова \( \varphi \) и \( \psi \)

Корак 2: Конструкција угла \( \psi - \varphi \)

Корак 3: Конструкција угла \( 2\psi - \varphi \)

Кратак запис решења:

1) \( \psi - \varphi \)

2) \( 2\psi - \varphi \)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

1) \( \psi - \varphi \)

2) \( 2\psi - \varphi \)

Детаљно решење

Корак 1: Преношење углова \( \varphi \) и \( \psi \)

Корак 2: Конструкција угла \( \psi - \varphi \)

Корак 3: Конструкција угла \( 2\psi - \varphi \)

Кратак запис решења:

1) \( \psi - \varphi \)

2) \( 2\psi - \varphi \)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: