III.4. Мерење углова

Да бисмо решили овај задатак, користићемо правила за сабирање, одузимање и множење угловних мера. Подсетимо се да је \( 1^\circ = 60' \) и \( 1' = 60'' \). Ако при сабирању добијемо више од \( 60 \) јединица, пребацујемо их у већу меру, а при одузимању „позајмљујемо“ од веће мере ако је потребно.

1) \( \alpha + \beta \)

Корак 1: Сабирање појединачних мера

Сабирамо посебно степене, минуте и секунде за углове \( \alpha = 14^\circ 56' 21'' \) и \( \beta = 7^\circ 18' 17'' \): \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 14^\circ & 56' & 21'' \\ +\quad 7^\circ & 18' & 17'' \\ \hline =\quad 21^\circ & 74' & 38'' \end{array} \]

Корак 2: Сређивање резултата

Пошто је \( 74' = 1^\circ 14' \), додајемо један степен укупној суми: \[ 21^\circ + 1^\circ 14' 38'' = 22^\circ 14' 38'' \]

2) \( 2\beta \)

Корак 1: Множење сваке мере бројем 2

Угао \( \beta = 7^\circ 18' 17'' \) множимо скаларом: \[ 2 \cdot 7^\circ = 14^\circ \] \[ 2 \cdot 18' = 36' \] \[ 2 \cdot 17'' = 34'' \] Резултат је \( 14^\circ 36' 34'' \). Овде немамо вредности преко \( 60 \), па нема потребе за претварањем.

3) \( 2\beta + \gamma \)

Корак 1: Сабирање добијеног угла \( 2\beta \) са углом \( \gamma = 45^\circ 56' 38'' \)

\[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 14^\circ & 36' & 34'' \\ +\quad 45^\circ & 56' & 38'' \\ \hline =\quad 59^\circ & 92' & 72'' \end{array} \]

Корак 2: Сређивање резултата

Прво претварамо секунде: \( 72'' = 1' 12'' \). Резултат постаје \( 59^\circ 93' 12'' \). Затим претварамо минуте: \( 93' = 1^\circ 33' \). Коначно: \( 59^\circ + 1^\circ 33' 12'' = 60^\circ 33' 12'' \).

4) \( \delta - \alpha \)

Корак 1: Припрема умањитеља и умањеника

Имамо \( \delta = 17^\circ 12' \) и \( \alpha = 14^\circ 56' 21'' \). Пошто \( \delta \) нема секунди и има мање минута од \( \alpha \), морамо извршити позајмљивање: \[ 17^\circ 12' = 17^\circ 11' 60'' \] Затим позајмљујемо степен: \[ 16^\circ 71' 60'' \]

Корак 2: Одузимање

\[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 16^\circ & 71' & 60'' \\ -\quad 14^\circ & 56' & 21'' \\ \hline =\quad 2^\circ & 15' & 39'' \end{array} \]

5) \( 2\gamma - 3\beta \)

Корак 1: Израчунавање \( 2\gamma \) и \( 3\beta \)

\[ 2\gamma = 2 \cdot (45^\circ 56' 38'') = 90^\circ 112' 76'' = 91^\circ 53' 16'' \] \[ 3\beta = 3 \cdot (7^\circ 18' 17'') = 21^\circ 54' 51'' \]

Корак 2: Одузимање

Пошто је \( 53' < 54' \), позајмљујемо један степен од \( 91^\circ \): \[ 91^\circ 53' 16'' = 90^\circ 113' 16'' \] \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 90^\circ & 113' & 16'' \\ -\quad 21^\circ & 54' & 51'' \\ \hline \end{array} \] Морамо позајмити и од минута за секунде: \( 90^\circ 112' 76'' \). \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 90^\circ & 112' & 76'' \\ -\quad 21^\circ & 54' & 51'' \\ \hline =\quad 69^\circ & 58' & 25'' \end{array} \]

6) \( \alpha + \beta + \gamma \)

Корак 1: Сабирање сва три угла

Користимо већ израчунато \( \alpha + \beta = 22^\circ 14' 38'' \) из првог дела: \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 22^\circ & 14' & 38'' \\ +\quad 45^\circ & 56' & 38'' \\ \hline =\quad 67^\circ & 70' & 76'' \end{array} \]

Корак 2: Сређивање резултата

\( 76'' = 1' 16'' \Rightarrow 67^\circ 71' 16'' \) \( 71' = 1^\circ 11' \Rightarrow 68^\circ 11' 16'' \)

1)

\( 14^\circ 56' 21'' + 7^\circ 18' 17'' = 21^\circ 74' 38'' = 22^\circ 14' 38'' \)

2)

\( 2 \cdot (7^\circ 18' 17'') = 14^\circ 36' 34'' \)

3)

\( 14^\circ 36' 34'' + 45^\circ 56' 38'' = 59^\circ 92' 72'' = 60^\circ 33' 12'' \)

4)

\( 17^\circ 12' - 14^\circ 56' 21'' = 16^\circ 71' 60'' - 14^\circ 56' 21'' = 2^\circ 15' 39'' \)

5)

\( 91^\circ 53' 16'' - 21^\circ 54' 51'' = 90^\circ 112' 76'' - 21^\circ 54' 51'' = 69^\circ 58' 25'' \)

6)

\( 22^\circ 14' 38'' + 45^\circ 56' 38'' = 67^\circ 70' 76'' = 68^\circ 11' 16'' \)