Мерење углова

Question 1

Задатак 1. Наташа је 2016. године истрчала Београдски маратон за четири сата, пет минута и педесет секунди. За колико секунди је Наташа истрчала Београдски маратон 2016. године?

Accepted Answer

Корак 1: Записивање података из задатка
Време за које је Наташа истрчала Београдски маратон је:
$$ t = 4\,\text{h}\; 5\,\text{min}\; 50\,\text{s} $$
Потребно је ово време претворити у секунде.

Корак 2: Претварање сати у секунде
Знамо да један сат има $ 60 $ минута, а сваки минут $ 60 $ секунди, што значи:
$$ 1\,\text{h} = 3600\,\text{s} $$
За четири сата рачунамо:
$$ 4 \cdot 3600\,\text{s} = 14400\,\text{s} $$

Корак 3: Претварање минута у секунде
Знамо да је:
\[ 1\,\text{min} = 60\,\text{s...

Question 2

Задатак 2. Филм се завршио у 22 сата и 10 минута. Када је почео филм, ако је трајао 115 минута?

Accepted Answer

Корак 1: Записивање података и претварање трајања филма
Време завршетка филма је $ 22\,\text{h}\; 10\,\text{min} $.
Трајање филма је $ 115\,\text{min} $.

Како је $ 1\,\text{h} = 60\,\text{min} $, трајање филма претварамо у сате и минуте:
$$ 115\,\text{min} = 60\,\text{min} + 55\,\text{min} = 1\,\text{h}\; 55\,\text{min} $$

Корак 2: Одузимање времена трајања од времена завршетка
Да бисмо одредили када је филм почео, од времена завршетка одузимамо време његовог трајања:
\[ 22\,\text{h}\; 1...

Question 3

Задатак 3. На диску су снимљене три песме. Прва траје 6 минута и 25 секунди, друга 12 минута и 25 секунди, а трећа 10 минута и 13 секунди. Колико трају све три песме заједно?

Accepted Answer

Корак 1: Записивање података
Запишимо трајања свих песама:
$ t_1 = 6\,\text{min}\; 25\,\text{s} $
$ t_2 = 12\,\text{min}\; 25\,\text{s} $
$ t_3 = 10\,\text{min}\; 13\,\text{s} $

Укупно трајање свих песама обележићемо са $ t $.

Корак 2: Постављање израза и потписивање
Да бисмо израчунали укупно време трајања, сабирамо трајања све три песме:
$$ t = t_1 + t_2 + t_3 $$

Сабирамо засебно минуте са минутима и секунде са секундама:
\[
\begin{array}{r@{\quad}r}
6\,\text{min} & 25\,\text{s} \...

Question 4

Задатак 4. Одреди величине углова $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $ приказаних на слици испод.

Accepted Answer

Како се чита угломер
Угломер се поставља тако да се његово средиште поклопи са теменом угла, а нулта подеока са једним краком угла. Величину угла очитавамо на скали тамо где је други крак пресеца.

Угао $ \alpha $
Краци угла $ \alpha $ су десни део водоравне праве и полуправа која иде навише удесно. Очитавањем на скали угломера добијамо
$$ \alpha = 55^\circ. $$

Угао $ \beta $
Краци угла $ \beta $ су десни део водоравне праве и полуправа која иде навише улево, па је
\[ \beta = 130^\circ....

Question 5

Задатак 5. Користећи угломер, нацртај углове чија је мера:
1) $ 45^\circ $; 2) $ 20^\circ $; 3) $ 120^\circ $; 4) $ 155^\circ $.

Accepted Answer

Поступак цртања угла помоћу угломера
За цртање сваког угла примењујемо следеће кораке:
1. Лењиром нацртамо једну полуправу и означимо њену почетну тачку као теме угла $ O $.
2. Поставимо центар угломера тачно на теме $ O $, а линију угломера за $ 0^\circ $ поклопимо са нацртаном полуправом.
3. На скали угломера пронађемо задату меру угла и оловком означимо тачку на папиру поред те вредности.
4. Склонимо угломер и лењиром повучемо другу полуправу из темена $ O $ кроз означену тачку.
5. Оз...

Question 6

Задатак 6. Колики угао заклапају казаљке у:
1) 1 сат; 2) 2 сата; 3) 3 сата; 4) 4 сата; 5) 5 сати; 6) 6 сати?

Accepted Answer

Одређивање угла који одговара једном сату
Цео бројчаник сата има облик круга, што одговара пуном углу од $ 360^\circ $.
Бројчаник је подељен на 12 једнаких делова (сати).
Угао између два суседна броја на сату износи:
$$ 360^\circ : 12 = 30^\circ $$
Дакле, сваки пун сат одступања мале казаљке од положаја броја 12 (где се налази велика казаљка) одговара углу од $ 30^\circ $.

1) 1 сат
Рачунање угла у 1 сат
У 1 сат велика казаљка показује на број 12, а мала казаљка на број 1. Између њих је тачн...

Question 7

Задатак 7. Упореди углове $ \alpha $ и $ \beta $ ако је:
1) $ \alpha = 30^\circ 1' $; $ \beta = 301' $;
2) $ \alpha = 20' $; $ \beta = 200'' $;
3) $ \alpha = 2^\circ 1' $; $ \beta = 120' 1'' $;
4) $ \alpha = 400' $; $ \beta = 4000'' $.

Accepted Answer

Да бисмо упоредили два угла, потребно је да њихове мере изразимо у истим мерним јединицама (минутима или секундама), користећи основне везе:
$$ 1^\circ = 60' $$
$$ 1' = 60'' $$

1) $ \alpha = 30^\circ 1' $; $ \beta = 301' $
Корак 1: Претварање угла $ \alpha $ у минуте
Претварамо степене у минуте тако што број степени помножимо са $ 60 $:
$$ 30^\circ = 30 \cdot 60' = 1800' $$
$$ \alpha = 1800' + 1' = 1801' $$

Корак 2: Упоређивање углова
Пошто је $ 1801' > 301' $, закључујемо:
\[ \alpha...

Question 8

Задатак 8. Користећи угломер, нацртај углове $ \alpha = 52^\circ $ и $ \beta = 42^\circ $. Затим, помоћу лењира и шестара конструиши углове $ \alpha + \beta $ и $ 2\alpha - \beta $. Одреди величине конструисаних углова.

Accepted Answer

Цртање датих углова помоћу угломера
Помоћу угломера нацртамо углове:
$$ \alpha = 52^\circ $$
$$ \beta = 42^\circ $$

Нацртати две одвојене слике, свака са једним углом:

1.  Прва слика приказује угао са теменом $ O $. Из темена $ O $ излазе два крака (полуправе) $ OA $ и $ OB $. Крак $ OA $ треба да буде постављен хоризонтално према десно. Угао између кракова $ OA $ и $ OB $ је $ \angle AOB = 52^\circ $, а ова вредност треба да буде јасно означена поред темена $ O $.
2.  Друга...

Question 9

Задатак 9. Одреди збир мера два угла:
1)
$$ \begin{array}{rrr} 13^\circ & 11' & 17'' \ + \quad 7^\circ & 17' & 41'' \ \hline \end{array} $$
2)
$$ \begin{array}{rrr} 8^\circ & 31' & 48'' \ + \quad 7^\circ & 22' & 45'' \ \hline \end{array} $$
3)
\[ \begin{array}{rrr} 7^\circ & 21' & 52'' \ + \qua...

Accepted Answer

1)
Корак 1: Сабирање степени, минута и секунди
Сабирамо засебно секунде са секундама, минуте са минутима и степене са степенима:
$$ 17'' + 41'' = 58'' $$
$$ 11' + 17' = 28' $$
$$ 13^\circ + 7^\circ = 20^\circ $$

Потписивањем добијамо:
$$ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 13^\circ & 11' & 17'' \ +\quad 7^\circ & 17' & 41'' \ \hline =\quad 20^\circ & 28' & 58'' \end{array} $$

Пошто су вредности за секунде ($ 58'' $) и минуте ($ 28' $) мање од $ 60 $, нема потребе за претварањем у веће ј...

Question 10

Задатак 10. Одреди величину угла $ \alpha + \beta $ ако је:
1) $ \alpha = 17^\circ 17' $, $ \beta = 43^\circ 43' $;
2) $ \alpha = 23^\circ 54' 4'' $, $ \beta = 14^\circ 56' $;
3) $ \alpha = 105^\circ 26' $, $ \beta = 16^\circ 34'' $;
4) $ \alpha = 59^\circ 59' 59'' $, \( \beta = 1''...

Accepted Answer

1)
Корак 1: Потписивање и сабирање одговарајућих јединица
Сабирамо засебно степене са степенима и минуте са минутима:
$$ \begin{array}{r@{\quad}r} 17^\circ & 17' \ +\quad 43^\circ & 43' \ \hline =\quad 60^\circ & 60' \end{array} $$

Корак 2: Претварање минута у степене
Пошто је $ 60' = 1^\circ $, додајемо $ 1^\circ $ на степене:
$$ 60^\circ 60' = 60^\circ + 1^\circ = 61^\circ $$

2)
Корак 1: Потписивање и сабирање одговарајућих јединица
Потписујемо степене испод степени, минуте испод минут...

Question 11

Задатак 11. Одреди разлику мера два угла:
1)
$$ \begin{array}{rrr} 15^\circ & 43' & 51'' \ - \quad 6^\circ & 31' & 21'' \ \hline \end{array} $$
2)
$$ \begin{array}{rrr} 18^\circ & 58' & 7'' \ - \quad 17^\circ & 24' & 28'' \ \hline \end{array} $$
3)
\[ \begin{array}{rrr} 16^\circ & 36' & 47'' \...

Accepted Answer

1)
Корак 1: Одузимање без позајмљивања
Одузимамо засебно секунде од секунди, минуте од минута и степене од степени:
$$ 51'' - 21'' = 30'' $$
$$ 43' - 31' = 12' $$
$$ 15^\circ - 6^\circ = 9^\circ $$

Записујемо поступак у облику рачуна:
$$ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 15^\circ & 43' & 51'' \ -\quad 6^\circ & 31' & 21'' \ \hline =\quad 9^\circ & 12' & 30'' \end{array} $$

2)
Корак 1: Позајмљивање минута
Пошто је број секунди умањеника ($ 7'' $) мањи од броја секунди умањиоца ($ 28'' $)...

Question 12

Задатак 12. Одреди величину угла $ \alpha - \beta $ ако је:
1) $ \alpha = 60^\circ, \beta = 1' $;
2) $ \alpha = 23', \beta = 2'' $;
3) $ \alpha = 12^\circ, \beta = 12'' $;
4) $ \alpha = 43^\circ 19' 1'', \beta = 30^\circ 20' 12'' $;
5) $ \alpha = 7^\circ 5' 2'', \beta = 2^\circ 5' 17'' $...

Accepted Answer

1) $ \alpha = 60^\circ, \beta = 1' $
Корак 1: Претварање и одузимање
Пошто угао $ \alpha $ нема изражене минуте, позајмљујемо $ 1^\circ $ и претварамо га у $ 60' $:
$$ \alpha = 60^\circ = 59^\circ 60' $$
Сада одузимамо угао $ \beta = 1' $:
$$ \begin{array}{r@{\quad}r} 59^\circ & 60' \ -\quad 0^\circ & 1' \ \hline =\quad 59^\circ & 59' \end{array} $$

2) $ \alpha = 23', \beta = 2'' $
Корак 1: Претварање и одузимање
Позајмљујемо $ 1' $ од $ 23' $ и претварамо га у $ 60'' $:
\[...

Question 13

Задатак 13. Ако је $ \alpha = 14^\circ 56' 21'' $, $ \beta = 7^\circ 18' 17'' $, $ \gamma = 45^\circ 56' 38'' $ и $ \delta = 17^\circ 12' $, израчунај:
1) $ \alpha + \beta $; 2) $ 2\beta $; 3) $ 2\beta + \gamma $; 4) $ \delta - \alpha $; 5) $ 2\gamma - 3\beta $; 6) \( \alpha + \bet...

Accepted Answer

1) $ \alpha + \beta $
Корак 1: Потписивање и сабирање мера углова
Сабирамо степене са степенима, минуте са минутима и секунде са секундама:
$$ \alpha + \beta = 14^\circ 56' 21'' + 7^\circ 18' 17'' $$
$$ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 14^\circ & 56' & 21'' \ +\quad 7^\circ & 18' & 17'' \ \hline =\quad 21^\circ & 74' & 38'' \end{array} $$

Корак 2: Претварање вишка минута
Пошто је број минута већи од $ 60 $, претварамо $ 74' $ користећи $ 60' = 1^\circ $:
\[ 74' = 60' + 14' = 1^\circ...

Question 14

Задатак 14. Угао $ \alpha $ је за $ 24^\circ $ мањи од правог угла, а угао $ \beta $ је за $ 14^\circ $ већи од угла $ \alpha $. Израчунај збир углова $ \alpha $ и $ \beta $.

Accepted Answer

Корак 1: Одређивање мере угла $ \alpha $
Мера правог угла износи $ 90^\circ $. Пошто је угао $ \alpha $ за $ 24^\circ $ мањи од правог угла, израчунавамо га одузимањем:
$$ \alpha = 90^\circ - 24^\circ $$
$$ \alpha = 66^\circ $$

Корак 2: Одређивање мере угла $ \beta $
У тексту задатка је дато да је угао $ \beta $ за $ 14^\circ $ већи од угла $ \alpha $. Зато на израчунату вредност угла $ \alpha $ додајемо $ 14^\circ $:
$$ \beta = \alpha + 14^\circ $$
\[ \beta = 66^\circ + 14^...

Question 15

Задатак 15. Угао $ \alpha $ је за $ 19^\circ $ већи од свог упоредног угла. Одреди величину угла $ \alpha $.

Accepted Answer

1. Постављање везе између углова
Означимо угао упоредан са углом $ \alpha $ са $ \beta $.
Упоредни углови заједно чине опружен угао, па је њихов збир једнак $ 180^\circ $:
$$ \alpha + \beta = 180^\circ $$

Према тексту задатка, угао $ \alpha $ је за $ 19^\circ $ већи од свог упоредног угла $ \beta $:
$$ \alpha = \beta + 19^\circ $$

2. Израчунавање угла $ \beta $
Уместо угла $ \alpha $ у једнакост о њиховом збиру уврстићемо $ \beta + 19^\circ $:
\[ (\beta + 19^\circ) + \beta =...

Question 16

Задатак 16. Ако се билијарска кугла креће праволинијски ка ивици стола, угао који њена путања образује са ивицом стола једнак је углу између ивице стола и путање након одбијања од ивице. Користећи податке са слике десно, одреди угао између путање кугле пре одбијања од ивице стола и путање кугле посл...

Accepted Answer

1. Анализа података са слике
Ивица билијарског стола представља праву линију, па сви углови на њој са исте стране заједно чине опружен угао чија је мера $ 180^\circ $.

Према подацима са слике и тексту задатка:
- Угао између путање кугле пре одбијања и ивице стола износи $ 42^\circ 30' $.
- Угао између ивице стола и путање након одбијања једнак је улазном углу, па такође износи $ 42^\circ 30' $.
- Непознати угао између путање кугле пре и после одбијања означићемо са $ x $.

2. Израчунава...

Question 17

Задатак 17. Одреди величину угла $ a_1Ob_1 $, приказаног на слици, при чему су углови $ a_1Oa_2 $ и $ b_1Ob_2 $ прави, а $ \sphericalangle a_2Ob_2 = 38^\circ $.
1) 2) 3) 4)

Accepted Answer

Полазне чињенице
За сваку слику важи исто: краци $ Oa_1 $ и $ Oa_2 $ су међусобно нормални ($ \sphericalangle a_1Oa_2 = 90^\circ $), краци $ Ob_1 $ и $ Ob_2 $ су такође међусобно нормални ($ \sphericalangle b_1Ob_2 = 90^\circ $), а дато је $ \sphericalangle a_2Ob_2 = 38^\circ $. Тражени угао $ \sphericalangle a_1Ob_1 $ добијамо сабирањем и одузимањем мера углова око тачке $ O $ (пун угао износи $ 360^\circ $, а прав угао $ 90^\circ $).
Пошто угао $ a_1Ob_1 $ има краке нор...

Question 18

Задатак 18. У унутрашњости правог угла $ aOb $ налази се полуправа $ Op $. Ако је $ \sphericalangle aOp = 39^\circ $, одреди величину угла $ pOb $.

Accepted Answer

Корак 1: Скицирање распореда углова
Нацртај теме $ O $. Из темена $ O $ нацртај полуправу $ Oa $ која се протеже хоризонтално удесно и полуправу $ Ob $ која се протеже вертикално нагоре. Ове две полуправе формирају прав угао $ \sphericalangle aOb $ од $ 90^\circ $. Из темена $ O $ нацртај трећу полуправу $ Op $ која се налази у унутрашњости угла $ \sphericalangle aOb $. Означи угао $ \sphericalangle aOp $ са $ 39^\circ $, постављајући ознаку близу темена $ O $ између полу...

III.4. Мерење углова

Изабери решење задатка:

Корак 1: Записивање података и претварање трајања филма

Корак 2: Одузимање времена трајања од времена завршетка

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста