Најважније из лекције
Основни појмови: Пун угао има \( 360^\circ \), опружен \( 180^\circ \), а прав \( 90^\circ \). За мерење користимо угломер.
Мерне јединице: Углови се мере у степенима (\( ^\circ \)), минутима (\( ' \)) и секундама (\( '' \)). Важи правило: \( 1^\circ = 60' \) и \( 1' = 60'' \).
Рачунање:
Мерне јединице: Углови се мере у степенима (\( ^\circ \)), минутима (\( ' \)) и секундама (\( '' \)). Важи правило: \( 1^\circ = 60' \) и \( 1' = 60'' \).
Рачунање:
- Код сабирања, ако је збир мањих јединица 60 или већи, претварамо их у већу јединицу (нпр. \( 75' = 1^\circ 15' \)).
- Код одузимања, ако је умањилац већи, позајмљујемо из веће јединице (нпр. \( 1^\circ \) се претвара у \( 60' \)).
Замислимо да се полуправа окреће у равни око своје почетне тачке, обиђе пун круг и врати се у почетни положај. „Угао” који опише ова полуправа јесте пун угао.
Важне карактеристике пуног угла:
- Краци пуног угла се поклапају.
- Пун угао чине све тачке одговарајуће равни.
- Кружни лукови који одговарају пуном углу су кружнице.
- Збир два опружена угла је пун угао.
- Збир четири права угла је пун угао.
Ако спојимо два опружена угла, који угао добијамо?
Одговор: Збир два опружена угла чини један пун угао.
За свако мерење неопходно је изабрати јединицу мере. За јединицу мере углова изабран је угао који је триста шездесети део пуног угла и који се назива степен.
Ознака за степен је кружић који се пише горе десно у односу на број: \( 1^\circ \).
Вредности основних углова:
- Мера пуног угла је \( 360^\circ \).
- Мера опруженог угла је \( 180^\circ \).
- Мера правог угла је \( 90^\circ \).
За мерење величине неког угла, као и за његово цртање, користи се угломер. Једнакост \( \sphericalangle xOy = 70^\circ \) читамо „мера угла \( xOy \) је 70 степени”.
Када угао не садржи цео број степени, користимо мање јединице мере: угаони минут (шездесети део степена) и угаону секунду (шездесети део минута).
Ознака за минут је једна запета горе десно (\( 1' \)), а за секунду две запете (\( 1'' \)).
Однос између мерних јединица:
\[ 1^\circ = 60' \]
\[ 1' = 60'' \]
\[ 1^\circ = 3\,600'' \]
Ако имамо угао чија је мера дата само у минутима, можемо га претворити у вишеименовани број (степене и минуте):
Нека је \( \alpha = 463' \).
\( 463' = 7 \cdot 60' + 43' = 7^\circ + 43' \).
Записујемо као: \( \alpha = 7^\circ 43' \).
Нека је \( \alpha = 463' \).
\( 463' = 7 \cdot 60' + 43' = 7^\circ + 43' \).
Записујемо као: \( \alpha = 7^\circ 43' \).
Претвори \( 135' \) у степене и минуте.
Делимо \( 135 \) са \( 60 \) да бисмо добили целе степене.
\( 135 : 60 = 2 \) и остатак је \( 15 \).
Одговор: \( 135' = 2^\circ 15' \).
\( 135 : 60 = 2 \) и остатак је \( 15 \).
Одговор: \( 135' = 2^\circ 15' \).
Мере углова се сабирају тако што се посебно саберу степени, посебно минути, а посебно секунде. Уколико збир секунди или минута пређе 60, врши се претварање у вишу јединицу.
\[
\begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r}
41^\circ & 36' & 18'' \\
+\quad 5^\circ & 15' & 54'' \\
\hline
=\quad 46^\circ & 51' & 72''
\end{array}
\]
Пошто је \( 72'' = 1' 12'' \), тај \( 1' \) се додаје минутима:
\( = 46^\circ 52' 12'' \)
\( = 46^\circ 52' 12'' \)
Мере углова се одузимају тако што се одузимају исте јединице. Ако је умањилац већи од умањеника у категоријама минута или секунди, позајмљујемо \( 1^\circ \) (као \( 60' \)) или \( 1' \) (као \( 60'' \)).
Одузимање \( 21^\circ 46' 12'' - 9^\circ 37' 53'' \):
Не можемо одузети \( 53'' \) од \( 12'' \), па позајмљујемо \( 1' \) од \( 46' \).
\( 46' \) постаје \( 45' \), а \( 12'' \) плус позајмљених \( 60'' \) постаје \( 72'' \). \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 21^\circ & 45' & 72'' \\ -\quad 9^\circ & 37' & 53'' \\ \hline =\quad 12^\circ & 8' & 19'' \end{array} \]
Не можемо одузети \( 53'' \) од \( 12'' \), па позајмљујемо \( 1' \) од \( 46' \).
\( 46' \) постаје \( 45' \), а \( 12'' \) плус позајмљених \( 60'' \) постаје \( 72'' \). \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 21^\circ & 45' & 72'' \\ -\quad 9^\circ & 37' & 53'' \\ \hline =\quad 12^\circ & 8' & 19'' \end{array} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај збир углова \( \alpha = 45^\circ 20' \) и \( \beta = 32^\circ 15' \).
Сабирамо степене са степенима, а минуте са минутима:
\( 45^\circ + 32^\circ = 77^\circ \)
\( 20' + 15' = 35' \)
Одговор: \( 77^\circ 35' \).
\( 45^\circ + 32^\circ = 77^\circ \)
\( 20' + 15' = 35' \)
Одговор: \( 77^\circ 35' \).
Средњи: Одреди разлику мера углова: \( 90^\circ - 25^\circ 18' \).
Да бисмо одузели минуте, морамо позајмити \( 1^\circ \) од \( 90^\circ \):
\( 90^\circ = 89^\circ 60' \)
Сада одузимамо: \[ \begin{array}{r@{\quad}r} 89^\circ & 60' \\ -\quad 25^\circ & 18' \\ \hline =\quad 64^\circ & 42' \end{array} \] Одговор: \( 64^\circ 42' \).
\( 90^\circ = 89^\circ 60' \)
Сада одузимамо: \[ \begin{array}{r@{\quad}r} 89^\circ & 60' \\ -\quad 25^\circ & 18' \\ \hline =\quad 64^\circ & 42' \end{array} \] Одговор: \( 64^\circ 42' \).
Тежак: Ако је угао \( \alpha = 112^\circ 15' 20'' \), а угао \( \beta \) је за \( 35^\circ 40' 45'' \) мањи од њега, одреди величину угла \( \beta \).
Морамо израчунати разлику: \( 112^\circ 15' 20'' - 35^\circ 40' 45'' \).
Не можемо одузети \( 45'' \) од \( 20'' \), па позајмљујемо \( 1' \):
\( 112^\circ 14' 80'' \)
Затим, не можемо одузети \( 40' \) од \( 14' \), па позајмљујемо \( 1^\circ \):
\( 111^\circ 74' 80'' \)
Сада вршимо одузимање: \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 111^\circ & 74' & 80'' \\ -\quad 35^\circ & 40' & 45'' \\ \hline =\quad 76^\circ & 34' & 35'' \end{array} \] Одговор: Величина угла \( \beta \) је \( 76^\circ 34' 35'' \).
Не можемо одузети \( 45'' \) од \( 20'' \), па позајмљујемо \( 1' \):
\( 112^\circ 14' 80'' \)
Затим, не можемо одузети \( 40' \) од \( 14' \), па позајмљујемо \( 1^\circ \):
\( 111^\circ 74' 80'' \)
Сада вршимо одузимање: \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 111^\circ & 74' & 80'' \\ -\quad 35^\circ & 40' & 45'' \\ \hline =\quad 76^\circ & 34' & 35'' \end{array} \] Одговор: Величина угла \( \beta \) је \( 76^\circ 34' 35'' \).
