III.5. Угао између две праве

Када се две праве секу у једној тачки, оне образују четири угла. Означимо те углове редом са \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \). Суседни углови су упоредни, па је њихов збир \( 180^\circ \): \[ \alpha + \beta = 180^\circ, \quad \beta + \gamma = 180^\circ, \quad \gamma + \delta = 180^\circ, \quad \delta + \alpha = 180^\circ \] Несуседни углови су унакрсни и они су међусобно једнаки: \[ \alpha = \gamma \quad \text{и} \quad \beta = \delta \] Збир сва четири угла једнак је пуном углу: \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]

1) Један од тих углова једнак \( 101^\circ \)

Корак 1: Одређивање унакрсног угла

Нека је: \[ \alpha = 101^\circ \] Њему унакрсни угао је \( \gamma \), па су они једнаки: \[ \gamma = \alpha = 101^\circ \]

Корак 2: Одређивање упоредних углова

Углови \( \alpha \) и \( \beta \) су упоредни, што значи да је њихов збир \( 180^\circ \): \[ \alpha + \beta = 180^\circ \] \[ \beta = 180^\circ - \alpha \] \[ \beta = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ \] Пошто је угао \( \delta \) унакрсан са углом \( \beta \), важи: \[ \delta = \beta = 79^\circ \] Величине сва четири угла су \( 101^\circ, 79^\circ, 101^\circ, 79^\circ \).

2) Збир два од тих углова једнак \( 202^\circ \)

Корак 1: Испитивање природе задатих углова

Збир два суседна угла је увек \( 180^\circ \). Како је задати збир \( 202^\circ \neq 180^\circ \), посматрана два угла не могу бити суседна. То значи да су то унакрсни углови. Нека су то унакрсни углови \( \alpha \) и \( \gamma \): \[ \alpha + \gamma = 202^\circ \]

Корак 2: Израчунавање унакрсних углова

Пошто су унакрсни углови једнаки (\( \alpha = \gamma \)), имамо: \[ \alpha + \alpha = 202^\circ \] \[ 2 \cdot \alpha = 202^\circ \] \[ \alpha = 202^\circ : 2 = 101^\circ \] Одавде је и: \[ \gamma = 101^\circ \]

Корак 3: Израчунавање преостала два угла

Угао \( \beta \) је упоредан са углом \( \alpha \): \[ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ \] Њему унакрсан угао је \( \delta \): \[ \delta = \beta = 79^\circ \] Величине сва четири угла су \( 101^\circ, 79^\circ, 101^\circ, 79^\circ \).

3) Збир три угла од добијених углова једнак \( 303^\circ \)

Корак 1: Одређивање четвртог угла преко пуног угла

Збир сва четири угла која образују две праве једнак је пуном углу, односно \( 360^\circ \): \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \] Нека је збир прва три угла: \[ \alpha + \beta + \gamma = 303^\circ \] Четврти угао \( \delta \) добијамо одузимањем тог збира од \( 360^\circ \): \[ \delta = 360^\circ - 303^\circ = 57^\circ \]

Корак 2: Одређивање осталих углова

Угао \( \beta \) је унакрсан са углом \( \delta \), па су они једнаки: \[ \beta = \delta = 57^\circ \] Углови \( \alpha \) и \( \gamma \) су упоредни углу \( \delta \): \[ \alpha = 180^\circ - \delta = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ \] Како је угао \( \gamma \) унакрсан са \( \alpha \): \[ \gamma = \alpha = 123^\circ \] Величине сва четири угла су \( 123^\circ, 57^\circ, 123^\circ, 57^\circ \).

1)

\( \alpha = \gamma = 101^\circ \) \( \beta = \delta = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ \)

2)

\( \alpha = \gamma = 202^\circ : 2 = 101^\circ \) \( \beta = \delta = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ \)

3)

\( \delta = \beta = 360^\circ - 303^\circ = 57^\circ \) \( \alpha = \gamma = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ \)