Најважније из лекције
Унакрсни углови настају пресеком две праве и међусобно су једнаки, док је збир суседних (упоредних) углова \(180^\circ\).
Угао између две праве је оштар угао који оне образују. Ако се секу под углом од \(90^\circ\), називамо их нормалним (\(p \perp q\)).
Растојање тачке од праве је најкраћи пут, тј. дужина нормале спуштене из тачке на праву.
У зависности од растојања центра до праве (\(d\)), права и кружница се могу сећи у две тачке (сечица, \(d < r\)), додиривати у једној тачки (тангента, \(d = r\)) или немају заједничких тачака (\(d > r\)). Тангента је увек нормална на полупречник.
Угао између две праве је оштар угао који оне образују. Ако се секу под углом од \(90^\circ\), називамо их нормалним (\(p \perp q\)).
Растојање тачке од праве је најкраћи пут, тј. дужина нормале спуштене из тачке на праву.
У зависности од растојања центра до праве (\(d\)), права и кружница се могу сећи у две тачке (сечица, \(d < r\)), додиривати у једној тачки (тангента, \(d = r\)) или немају заједничких тачака (\(d > r\)). Тангента је увек нормална на полупречник.
Две праве које се секу у једној тачки образују четири неопружена конвексна угла. Свака два несуседна угла називају се унакрсни углови.
Унакрсни углови су једнаки.
Свака два суседна угла су упоредна (њихов збир је \(180^\circ\)).
Свака два суседна угла су упоредна (њихов збир је \(180^\circ\)).
Збир два унакрсна угла које образују две праве је \(102^\circ\).
Пошто су једнаки, величина сваког од њих је \(102^\circ : 2 = 51^\circ\).
Величине преостала два (тупа) унакрсна угла се добијају од укупних \(180^\circ\): \(180^\circ - 51^\circ = 129^\circ\).
Пошто су једнаки, величина сваког од њих је \(102^\circ : 2 = 51^\circ\).
Величине преостала два (тупа) унакрсна угла се добијају од укупних \(180^\circ\): \(180^\circ - 51^\circ = 129^\circ\).
Ако је један од углова које образују две праве које се секу \(45^\circ\), одреди остала три угла.
Одговор: Његов унакрсни угао је такође \(45^\circ\). Упоредни угао се рачуна као \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). Његов унакрсни угао је такође \(135^\circ\). Дакле, остали углови су \(45^\circ\), \(135^\circ\) и \(135^\circ\).
Нормалне (ортогоналне) праве: Ако две праве при пресеку образују праве углове (\(90^\circ\)), кажемо да су нормалне.
Да су праве \(p\) и \(q\) нормалне записујемо као: \(p \perp q\).
Ако две праве које се секу нису нормалне, оне образују пар оштрих и пар тупих унакрсних углова. Под углом између две праве подразумевамо величину оштрих унакрсних углова.
За сваку праву \(p\) и тачку \(A\) постоји само једна права која садржи \(A\) и нормална је на \(p\). Пресек те нормале и праве \(p\) назива се подножје нормале.
Растојање између тачке \(A\) и праве \(p\) јесте дужина дужи \(AN\), где је \(N\) подножје нормале спуштене из тачке \(A\) на праву \(p\). Ово је уједно и најкраће растојање од тачке до праве.
Растојање између две паралелне праве је растојање било које тачке једне праве од друге праве (сва растојања су једнака).
Однос између праве и кружнице зависи од растојања (\(d\)) центра кружнице од те праве у односу на њен полупречник (\(r\)).
| Однос растојања (\(d\)) и полупречника (\(r\)) | Број заједничких тачака | Назив праве |
|---|---|---|
| \(d < r\) | \(2\) | Сечица |
| \(d = r\) | \(1\) (тачка додира) | Тангента |
| \(d > r\) | \(0\) | Немају заједничких тачака |
Тангента кружнице је нормална на полупречник одређен тачком додира.
Задаци за вежбање
Лак: Две праве се секу и један од формираних углова је \(110^\circ\). Колики је угао између те две праве?
Угао између две праве је, по дефиницији, њихов оштар угао. Пошто је дати угао туп (\(110^\circ\)), оштар угао се рачуна као његов упоредни угао: \(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
Одговор: Угао између правих је \(70^\circ\).
Одговор: Угао између правих је \(70^\circ\).
Средњи: Збир три угла која настају пресеком две праве је \(300^\circ\). Одреди величину сваког од та четири угла.
Збир сва четири угла око пресечне тачке је \(360^\circ\).
Четврти угао је \(360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).
Његов унакрсни угао је такође \(60^\circ\).
Упоредни углови се рачунају као \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Одговор: Углови износе \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\) и \(120^\circ\).
Четврти угао је \(360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).
Његов унакрсни угао је такође \(60^\circ\).
Упоредни углови се рачунају као \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Одговор: Углови износе \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(120^\circ\) и \(120^\circ\).
Тежак: Права \(p\) је тангента кружнице са центром у тачки \(O\) и полупречником \(r = 5\text{ cm}\). Колико износи најкраће растојање од тачке \(O\) до праве \(p\) и под којим углом се секу тангента и полупречник у тачки додира?
Код тангенте је растојање од центра кружнице до праве увек једнако полупречнику кружнице.
Тангента је увек нормална на полупречник у тачки додира, што значи да образују прав угао.
Одговор: Најкраће растојање износи \(5\text{ cm}\), а секу се под углом од \(90^\circ\).
Тангента је увек нормална на полупречник у тачки додира, што значи да образују прав угао.
Одговор: Најкраће растојање износи \(5\text{ cm}\), а секу се под углом од \(90^\circ\).
