III.5. Угао између две праве

Почетни кораци

Нацртај хоризонталну праву линију и обележи је са \(p\). Изнад праве \(p\), на одређеном растојању, постави тачку и обележи је са \(A\), тако да тачка \(A\) очигледно не припада правој \(p\). Нацртаћемо најпре једну праву линију и обележити је са \( p \). Затим, негде поред ње (на пример, изнад), нацртаћемо тачку и обележити је са \( A \).

1)

На хоризонталној правој \(p\) и тачки \(A\) која се налази изнад ње, постави правоугли троугаони лењир. Једну катету лењира постави тачно дуж праве \(p\). Померај лењир хоризонтално дуж праве \(p\) све док се његова друга катета не поклопи са тачком \(A\). Затим, повуци дуж од тачке \(A\) која прати ову другу катету и спаја се са правом \(p\). Ова дуж је нормала \(a\). Обележи пресечну тачку нормале \(a\) са правом \(p\) као подножје нормале, тачку \(A_p\). Означи прав угао на пресеку нормале \(a\) и праве \(p\). Користимо троугаони лењир. Постављамо једну од његових катета (краћих страница које заклапају прав угао) тако да се тачно поклапа са правом \( p \). Затим, пажљиво померамо лењир дуж праве \( p \) све док друга катета не дотакне тачку \( A \). Повлачимо оловком линију уз ту ивицу кроз тачку \( A \). Обележавамо ову нову праву са \( a \). На месту где се праве \( a \) и \( p \) секу, цртамо мали квадратић – то је ознака за прав угао. Тиме смо конструисали нормалу \( a \) на праву \( p \) из тачке \( A \) (\( a \perp p \)).

2)

На хоризонталној правој \(p\), на коју је већ нацртана нормала \(a\) из тачке \(A\) чије је подножје на \(p\) означено као \(A_0\), изабери нову тачку \(B\). Тачка \(B\) треба да буде на правој \(p\) и различита од тачке \(A_0\); на пример, постави је десно од \(A_0\). Из тачке \(B\), нацртај праву \(b\) која је нормална на праву \(p\), што значи да формира угао од 90 степени са правом \(p\). Права \(b\) треба да се протеже вертикално нагоре од тачке \(B\), слично као права \(a\) од тачке \(A\) до \(A_0\). На правој \( p \) бирамо било коју тачку и обележавамо је са \( B \), пазећи да то не буде иста тачка у којој права \( a \) сече праву \( p \) (подножје нормале). Поново користимо троугаони лењир и постављамо једну катету уз праву \( p \), али сада тако да се сам врх правог угла лењира налази тачно у тачки \( B \). Повлачимо линију уз другу катету и обележавамо ту нову праву са \( b \). Цртамо квадратић за прав угао код тачке \( B \). Сада смо нацртали и нормалу \( b \) на праву \( p \) из тачке \( B \) (\( b \perp p \)).

3)

Крайният чертеж показва правата p и две прави a и b, които са едновременно нормални на p. Правите a и b изглеждат успоредни и никога не се пресичат. Ако погледамо наш цртеж, видимо да праве \( a \) и \( b \) имају исти правац. Пошто су обе ове праве нормалне на исту праву \( p \), оне се никада неће пресећи, колико год их ми продужавали. Правило гласи: две праве које су нормалне на исту праву су међусобно паралелне. Зато закључујемо да важи \( a \parallel b \). Одговор је: Да, праве \( a \) и \( b \) су паралелне.

1) Цртамо праву \( a \), \( A \in a \), \( a \perp p \). 2) Бирамо \( B \in p \), цртамо праву \( b \), \( b \perp p \). 3) \( a \perp p \) и \( b \perp p \Rightarrow a \parallel b \). Да, праве су паралелне.