Најважније из лекције
- Проценат је стоти део неке целине: \( p\% = \frac{p}{100} \).
- Рачунање процента: Вредност се добија множењем величине процентом записаним као децимални број или разломак (нпр. \( 20\% \) од 50 је \( 0,2 \cdot 50 = 10 \)).
- Промена вредности: Снижење за \( p\% \) множи се са \( (100 - p)\% \), а поскупљење са \( (100 + p)\% \).
- Рачунање процента промене: Износ промене се увек дели са почетном (старом) вредношћу.
Процентима изражавамо број стотих делова неке величине. Један проценат (1%) представља један стоти део неке целине.
\[ p\% = \frac{p}{100} \]
На основу ове једнакости, проценте једноставно записујемо у облику разломака или децималних бројева.
Претварање процената у разломке и децималне бројеве:
- \( 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} = 0,2 \)
- \( 25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0,25 \)
- \( 50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0,5 \)
- \( 12,6\% = \frac{12,6}{100} = 0,126 \)
Запиши \( 75\% \) у облику несводљивог разломка и децималног броја.
\( 75\% = \frac{75}{100} \)
Када скратимо разломак са 25, добијамо \( \frac{3}{4} \).
Децимални запис: \( 75 : 100 = 0,75 \).
Када скратимо разломак са 25, добијамо \( \frac{3}{4} \).
Децимални запис: \( 75 : 100 = 0,75 \).
Да бисмо израчунали одређени проценат неке величине, тај проценат прво запишемо као разломак или децимални број, а затим га помножимо са том величином.
Ако 100 грама чоколаде садржи 70% какаоа, колико грама какаоа има у 25 грама чоколаде?
\[ 70\% \cdot 25 = \frac{70}{100} \cdot 25 = 0,7 \cdot 25 = 17,5 \text{ грама} \]
Израчунај \( 30\% \) од броја 150.
\( 30\% = 0,3 \)
\( 0,3 \cdot 150 = 45 \)
\( 0,3 \cdot 150 = 45 \)
Проценти се често користе за изражавање промене цене (или друге величине).
Ако је снижење \( p\% \), нова цена је \( (100 - p)\% \) од старе цене.
Пример: Снижење од \( 20\% \) значи да је нова цена \( 80\% \) (\( 0,8 \)) старе цене.
За цену од 1000 динара: \( 1000 - 0,2 \cdot 1000 = 800 \) или краће \( 0,8 \cdot 1000 = 800 \).
Пример: Снижење од \( 20\% \) значи да је нова цена \( 80\% \) (\( 0,8 \)) старе цене.
За цену од 1000 динара: \( 1000 - 0,2 \cdot 1000 = 800 \) или краће \( 0,8 \cdot 1000 = 800 \).
Ако је поскупљење \( p\% \), нова цена је \( (100 + p)\% \) од старе цене.
Пример: Поскупљење од \( 25\% \) значи да је нова цена \( 125\% \) (\( 1,25 \)) старе цене.
За цену од 1000 динара: \( 1000 + 0,25 \cdot 1000 = 1250 \) или краће \( 1,25 \cdot 1000 = 1250 \).
Пример: Поскупљење од \( 25\% \) значи да је нова цена \( 125\% \) (\( 1,25 \)) старе цене.
За цену од 1000 динара: \( 1000 + 0,25 \cdot 1000 = 1250 \) или краће \( 1,25 \cdot 1000 = 1250 \).
Два узастопна снижења од нпр. \( 20\% \) нису исто што и једно снижење од \( 40\% \). Друго снижење се рачуна у односу на нову (већ умањену) цену, а не почетну!
Почетна цена је 1250 динара.
1. Прво снижење од 20%: \( 0,8 \cdot 1250 = 1000 \).
2. Друго снижење од 20%: \( 0,8 \cdot 1000 = 800 \).
Да је било једнократно снижење од 40%, цена би била: \( 0,6 \cdot 1250 = 750 \).
1. Прво снижење од 20%: \( 0,8 \cdot 1250 = 1000 \).
2. Друго снижење од 20%: \( 0,8 \cdot 1000 = 800 \).
Да је било једнократно снижење од 40%, цена би била: \( 0,6 \cdot 1250 = 750 \).
Ако нам је позната вредност након промене и проценат промене, можемо израчунати почетну вредност постављањем једначине.
После поскупљења од \( 25\% \), цена производа је 540 динара. Колика је била почетна цена (\( x \))?
Нова цена је \( 125\% = 1,25 = \frac{5}{4} \) старе цене. \[ \frac{5}{4} \cdot x = 540 \implies x = 540 : \frac{5}{4} = 540 \cdot \frac{4}{5} = 432 \text{ динара} \]
Нова цена је \( 125\% = 1,25 = \frac{5}{4} \) старе цене. \[ \frac{5}{4} \cdot x = 540 \implies x = 540 : \frac{5}{4} = 540 \cdot \frac{4}{5} = 432 \text{ динара} \]
Да бисмо израчунали за колико процената се нека величина променила, делимо износ промене са почетном вредношћу.
\[ \text{Проценат промене} = \frac{\text{Износ промене (разлика)}}{\text{Почетна вредност}} \]
Ако цена поскупи за неки проценат, да би се вратила на почетну вредност, проценат снижења неће бити исти као проценат поскупљења, јер се снижење рачуна у односу на нову, већу цену.
Цена од 1000 динара поскупи за \( 25\% \) на 1250 динара. Колико треба снизити нову цену да би опет била 1000 динара?
Разлика је 250 динара. Делимо је са новом ценом (која је сада основа): \[ \frac{250}{1250} = \frac{1}{5} = 20\% \] Цену треба снизити за \( 20\% \).
Разлика је 250 динара. Делимо је са новом ценом (која је сада основа): \[ \frac{250}{1250} = \frac{1}{5} = 20\% \] Цену треба снизити за \( 20\% \).
Кружни дијаграм се црта тако што се за сваки део израчуна одговарајући централни угао круга. Пун угао круга износи \( 360^\circ \).
Централни угао за одређени део добија се множењем процента тог дела са \( 360^\circ \).
\[ \text{Угао} = p\% \cdot 360^\circ \]
Ако \( 5\% \) ученика има оцену 1, централни угао који представља ту групу на дијаграму је:
\[ 5\% \cdot 360^\circ = \frac{5}{100} \cdot 360^\circ = \frac{1}{20} \cdot 360^\circ = 18^\circ \]
Задаци за вежбање
Лак: У школи која има 800 ученика, \( 45\% \) су дечаци. Колико дечака има у тој школи?
Рачунамо \( 45\% \) од 800:
\[ \frac{45}{100} \cdot 800 = 0,45 \cdot 800 = 360 \]
Одговор: У школи има 360 дечака.
Средњи: Патике су коштале 4500 динара. Након сезонског снижења, њихова цена је 3600 динара. За колико процената је цена снижена?
Прво рачунамо износ снижења: \( 4500 - 3600 = 900 \) динара.
Затим тај износ делимо са почетном ценом: \[ \frac{900}{4500} = \frac{9}{45} = \frac{1}{5} \]
Претварамо разломак у проценат: \( \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\% \).
Одговор: Цена је снижена за \( 20\% \).
Затим тај износ делимо са почетном ценом: \[ \frac{900}{4500} = \frac{9}{45} = \frac{1}{5} \]
Претварамо разломак у проценат: \( \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\% \).
Одговор: Цена је снижена за \( 20\% \).
Тежак: Цена бицикла је прво повећана за \( 10\% \), а затим је на распродаји та нова цена снижена за \( 10\% \). Ако бицикл на крају кошта 11880 динара, колика је била његова почетна цена?
Означимо почетну цену са \( x \).
Након поскупљења од \( 10\% \), цена је \( 1,1 \cdot x \).
Након снижења те цене за \( 10\% \), цена је \( 0,9 \cdot (1,1 \cdot x) \).
Постављамо једначину: \[ 0,9 \cdot 1,1 \cdot x = 11880 \] \[ 0,99 \cdot x = 11880 \] \[ x = 11880 : 0,99 \] \[ x = 1188000 : 99 = 12000 \]
Одговор: Почетна цена бицикла је била 12000 динара.
Након поскупљења од \( 10\% \), цена је \( 1,1 \cdot x \).
Након снижења те цене за \( 10\% \), цена је \( 0,9 \cdot (1,1 \cdot x) \).
Постављамо једначину: \[ 0,9 \cdot 1,1 \cdot x = 11880 \] \[ 0,99 \cdot x = 11880 \] \[ x = 11880 : 0,99 \] \[ x = 1188000 : 99 = 12000 \]
Одговор: Почетна цена бицикла је била 12000 динара.
