Најважније из лекције
- Придруживање: Поступак додељивања бројева објектима или појавама (кроз бројање, мерење или рачунање).
- Законитост у низу: Може се приказати изразом са променљивом (најчешће \( n \)) који описује зависност вредности од реднoг броја у низу. Примери: \( 2n + 1 \), \( 3n \), \( 4n + 2 \).
- Скраћени запис: Знак за множење се подразумева и може се изоставити испред променљиве (\( 5 \cdot a = 5a \)) и између две променљиве (\( x \cdot y = xy \)).
- Више променљивих: Када резултат зависи од више фактора, користимо формуле са више слова, као што је површина правоугаоника \( P = ab \).
У математици често повезујемо (придружујемо) бројеве одређеним објектима или појавама. Најосновнији поступци за то су бројање и мерење.
Када вредност једне величине зависи од друге, ту зависност можемо описати правилом (законитошћу) користећи изразе са променљивама.
Ако сваки ученик добије по 3 свеске, број потребних свезака зависи од броја ученика.
Ако број ученика обележимо са \( n \), укупан број свезака можемо приказати изразом \( 3 \cdot n \).
Када посматрамо низ фигура или бројева, можемо открити опште правило по коме се тај низ формира. То правило најчешће везује редни број фигуре у низу са неким њеним својством (нпр. бројем делова).
Анализирај првих неколико елемената низа и растави их на делове како би уочио шта је стално, а шта се мења.
Повежи променљиви део са редним бројем елемента (\( n \)).
Напиши израз са променљивом \( n \).
Правимо низ квадрата од шибица тако што се сваки следећи квадрат надовезује на претходни.
Уочавамо да је за први квадрат потребно 4 шибице (1 почетна + 3 нове). За сваки следећи квадрат додајемо још по 3 шибице. Опште правило за \( n \) квадрата је: \( 1 + 3 \cdot n \).
| Број квадрата (\( n \)) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Број шибица | 4 | 7 | 10 | 13 |
| Законитост | \( 1 + 3 \cdot 1 \) | \( 1 + 3 \cdot 2 \) | \( 1 + 3 \cdot 3 \) | \( 1 + 3 \cdot 4 \) |
Уочавамо да је за први квадрат потребно 4 шибице (1 почетна + 3 нове). За сваки следећи квадрат додајемо још по 3 шибице. Опште правило за \( n \) квадрата је: \( 1 + 3 \cdot n \).
Користећи правило из претходног примера, израчунај колико је шибица потребно за израду низа од 50 квадрата.
Примењујемо правило \( 1 + 3 \cdot n \), где је \( n = 50 \).
\[ 1 + 3 \cdot 50 = 1 + 150 = 151 \]
Одговор: Потребна је 151 шибица.
Неке величине зависе од две или више других величина. У тим случајевима користимо изразе са две или више променљивих.
Обим правоугаоника зависи и од дужине странице \( a \), и од дужине странице \( b \).
Формула за обим је израз са две променљиве: \[ O = 2 \cdot a + 2 \cdot b \]
Због једноставнијег записивања, знак за множење (\( \cdot \)) се често изоставља између броја и променљиве, као и између две променљиве.
На пример:
- \( 3 \cdot n \) пишемо као \( 3n \)
- \( 2 \cdot a + 2 \cdot b \) пишемо као \( 2a + 2b \)
- \( a \cdot b \) пишемо као \( ab \)
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Посматрај табелу која бројевима из првог реда придружује бројеве у другом реду по одређеном правилу. Откриј правило и одреди вредност \( y \) када је \( x = 6 \).
| \( x \) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \( y \) | 5 | 10 | 15 | 20 |
Уочавамо да је сваки број \( y \) пет пута већи од броја \( x \).
Правило је: \( y = 5x \).
Када је \( x = 6 \), тада је \( y = 5 \cdot 6 = 30 \).
Правило је: \( y = 5x \).
Када је \( x = 6 \), тада је \( y = 5 \cdot 6 = 30 \).
Средњи ниво: Од шибица се прави низ спојених једнакостраничних троуглова. За први троугао су потребне 3 шибице. За сваки следећи спојени троугао потребне су још 2 шибице. Напиши израз за број шибица ако се низ састоји од \( n \) троуглова, а затим израчунај број шибица за 100 троуглова.
Број шибица за 1. троугао: 3 (можемо записати као \( 1 + 2 \cdot 1 \)).
Број шибица за 2. троугао: 5 (\( 1 + 2 \cdot 2 \)).
Број шибица за 3. троугао: 7 (\( 1 + 2 \cdot 3 \)).
Правило за \( n \) троуглова је: \( 1 + 2n \).
За 100 троуглова: \( 1 + 2 \cdot 100 = 1 + 200 = 201 \).
Број шибица за 2. троугао: 5 (\( 1 + 2 \cdot 2 \)).
Број шибица за 3. троугао: 7 (\( 1 + 2 \cdot 3 \)).
Правило за \( n \) троуглова је: \( 1 + 2n \).
За 100 троуглова: \( 1 + 2 \cdot 100 = 1 + 200 = 201 \).
Тежи ниво: Цена изнајмљивања бицикла састоји се од фиксне накнаде од 200 динара и додатних 50 динара за сваки започети сат вожње (\( h \)).
а) Напиши израз са једном променљивом који представља укупну цену изнајмљивања.
б) Ако су Марко и Јован изнајмили два бицикла, Марко на 3 сата, а Јован на 5 сати, колико су укупно новца платили?
а) Напиши израз са једном променљивом који представља укупну цену изнајмљивања.
б) Ако су Марко и Јован изнајмили два бицикла, Марко на 3 сата, а Јован на 5 сати, колико су укупно новца платили?
а) Укупна цена зависи од броја сати \( h \). Израз је: \( 200 + 50h \).
б) Марко је платио: \( 200 + 50 \cdot 3 = 200 + 150 = 350 \) динара.
Јован је платио: \( 200 + 50 \cdot 5 = 200 + 250 = 450 \) динара.
Укупно су платили: \( 350 + 450 = 800 \) динара.
б) Марко је платио: \( 200 + 50 \cdot 3 = 200 + 150 = 350 \) динара.
Јован је платио: \( 200 + 50 \cdot 5 = 200 + 250 = 450 \) динара.
Укупно су платили: \( 350 + 450 = 800 \) динара.
