Задатак 1. Славко и Здравко имају по 32 жетона. Истовремено бацају по једну коцкицу. Ко добије мањи број, даје половину својих жетона противнику. (Ако добију исте бројеве, нико нити добија нити губи жетоне.) У табели десно приказани су резултати пет бацања. редни број бацања 1. 2. 3. 4. 5. Славко Зд...

Дате вредности на коцкицама:Славко: 6, 2, 5, 3, 4Здравко: 5, 1, 3, 1, 6Правило: ко добије мањи број, даје половину својих жетона противнику. Обојица почињу са 32 жетона.1. бацање: Славко 6, Здравко 5. Мањи број има Здравко, па даје \(32 : 2 = 16\). Славко: \(32 + 16 = 48\); Здравко: \(32 - 16 = 16\).2. бацање: Славко 2, Здравко 1. Мањи има Здравко, даје \(16 : 2 = 8\). Славко: \(48 + 8 = 56\); Здравко: \(16 - 8 = 8\).3. бацање: Славко 5, Здравко 3. Мањи има Здравко, даје \(8 : 2 = 4\). Славко: \...

Задатак 2. Од 13 шибица је састављен низ од шест троуглова (слика десно). Колико шибица је потребно да би се направио низ од 2017 троуглова?

Корак 1: Анализа низа и уочавање правилности Посматрамо како се гради низ троуглова од шибица: - За први троугао (\( n = 1 \)) потребне су \( 3 \) шибице, што можемо записати као \( 1 + 2 \cdot 1 = 3 \). - За сваки следећи надовезани троугао потребне су још по \( 2 \) нове шибице, јер нови троугао дели једну заједничку страницу (шибицу) са претходним. - За \( 2 \) троугла: \( 3 + 2 = 5 \) шибица, односно \( 1 + 2 \cdot 2 = 5 \). - За \( 3 \) троугла: \( 5 + 2 = 7 \) шибица, односно \( 1 + 2 \cdo...

Задатак 3. Колико плочица је потребно за 500. фигуру започетог низа? а) 1. 2. 3. 4. 5. б) 1. 2. 3. 4. в) 1. 2. 3. 4. г) 1. 2. 3. 4.

За сваки низ бројимо колико плочица има свака фигура, па уочавамо правило.а) Плочице по фигурама: 2, 4, 6, 8, 10 — свака следећа има 2 плочице више. Хоризонтални крак \(n\)-те фигуре има \(n+1\) плочицу, а усправни \(n-1\), па је укупно \((n+1)+(n-1)=2n\). За 500. фигуру: \(2 \cdot 500 = 1000\).б) Плочице: 3, 5, 7, 9 — разлика је 2. Доњи ред има \(n+1\), горњи \(n\), укупно \(2n+1\). За 500. фигуру: \(2 \cdot 500 + 1 = 1001\).в) Плочице: 5, 7, 9, 11 — разлика је 2. Горњи крак има \(n\), десни \(...

Задатак 4. На слици испод је приказано неколико фигура састављених од игала. Колико игала је потребно за 60. фигуру започетог низа?

За сваку фигуру пребројимо игле по страницама трапеза:горња основица: \(n\) игала,доња основица: \(n+1\) игала,две бочне (косе) странице: по \(1\) иглу, укупно \(2\) игле.Провера на приказаним фигурама:1. фигура: \(1+2+2=5\)2. фигура: \(2+3+2=7\)3. фигура: \(3+4+2=9\)4. фигура: \(4+5+2=11\)За \(n\)-ту фигуру потребно је \(n+(n+1)+2 = 2n+3\) игала. За 60. фигуру: \(2 \cdot 60 + 3 = 120 + 3 = 123\) игле.

Задатак 5. Погледај производе броја 1 089 и неколико једноцифрених природних бројева: \(1 \cdot 1 089 = 1 089\), \(2 \cdot 1 089 = 2 178\), \(3 \cdot 1 089 = 3 267\), \(4 \cdot 1 089 = 4 356\). Да ли уочаваш неку законитост? Да ли она важи за производе броја 1 089 и бројева 5, 6, 7, 8 и 9?

Анализа датих производа Посматрамо добијене четвороцифрене производе: \[ 1 \cdot 1089 = 1089 \] \[ 2 \cdot 1089 = 2178 \] \[ 3 \cdot 1089 = 3267 \] \[ 4 \cdot 1089 = 4356 \] Посматрањем цифара резултата уочавамо следеће правилности: - Прва цифра хиљада редом расте: \( 1, 2, 3, 4 \). - Друга цифра стотина редом расте: \( 0, 1, 2, 3 \). - Трећа цифра десетица редом опада: \( 8, 7, 6, 5 \). - Последња цифра јединица редом опада: \( 9, 8, 7, 6 \). Такође, збир прве и последње цифре је увек \( 9 \)...

Задатак 6. Одреди израз на основу кога су бројевима скупа \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) додељене вредности приказане у табели. а) \(x\) 1 2 3 4 5 ? 3 5 7 9 11 б) \(x\) 1 2 3 4 5 ? 2 4 6 8 10 в) \(x\) 1 2 3 4 5 ? 0 3 8 15 24

а) 1. Анализирамо вредности из табеле Посматрамо парове вредности за \(x\) и одговарајући број: \[ 1 \to 3 \] \[ 2 \to 5 \] \[ 3 \to 7 \] \[ 4 \to 9 \] \[ 5 \to 11 \] 2. Уочавамо правилност Свака следећа вредност у другом реду већа је за \(2\) од претходне: \[ 5 - 3 = 2 \] \[ 7 - 5 = 2 \] \[ 9 - 7 = 2 \] \[ 11 - 9 = 2 \] Пошто се вредност увећава за \(2\) када се \(x\) увећа за \(1\), израз садржи производ \(2 \cdot x\). Проверавамо вредности за \(2 \cdot x\): - За \(x = 1\): \(2 \cdot 1 = 2\)...

Задатак 7. Опиши правило по коме су на слици испод правоугаоницима додељени бројеви. а) б)

Помоћу лењира (или бројањем квадратића мреже) измеримо странице сваког правоугаоника. У оба задатка приказани су исти правоугаоници са страницама: \( 2 \times 1 \), \( 3 \times 2 \), \( 1 \times 3 \), \( 4 \times 2 \) и \( 6 \times 1 \). а) Правоугаоницима су додељени бројеви 6, 8, 10, 12 и 14. Проверимо обим \( O = 2a + 2b \): \( 2 \cdot (2 + 1) = 6 \); \( 2 \cdot (1 + 3) = 8 \); \( 2 \cdot (3 + 2) = 10 \); \( 2 \cdot (4 + 2) = 12 \); \( 2 \cdot (6 + 1) = 14 \). Добијени бројеви су тачно они с...

Задатак 8. Од жутих и плавих плочица састављен је низ квадрата. Колико жутих, а колико плавих плочица је потребно за 100. квадрат започетог низа? 1. 2. 3. 4.

Погледајмо низ квадрата. Сваки квадрат има жуту ивицу (оквир) ширине једне плочице, а унутрашњост попуњену плавим плочицама.1. квадрат: страница \(3\), плаве \(1 \cdot 1 = 1\), жуте \(3 \cdot 3 - 1 = 8\)2. квадрат: страница \(4\), плаве \(2 \cdot 2 = 4\), жуте \(4 \cdot 4 - 4 = 12\)3. квадрат: страница \(5\), плаве \(3 \cdot 3 = 9\), жуте \(5 \cdot 5 - 9 = 16\)4. квадрат: страница \(6\), плаве \(4 \cdot 4 = 16\), жуте \(6 \cdot 6 - 16 = 20\)Уочавамо правило: \(n\)-ти квадрат има страницу \(n + 2...

Придруживање

Најважније из лекције

Придруживање: Поступак додељивања бројева објектима или појавама (кроз бројање, мерење или рачунање).
Законитост у низу: Може се приказати изразом са променљивом (најчешће \( n \)) који описује зависност вредности од реднoг броја у низу. Примери: \( 2n + 1 \), \( 3n \), \( 4n + 2 \).
Скраћени запис: Знак за множење се подразумева и може се изоставити испред променљиве (\( 5 \cdot a = 5a \)) и између две променљиве (\( x \cdot y = xy \)).
Више променљивих: Када резултат зависи од више фактора, користимо формуле са више слова, као што је површина правоугаоника \( P = ab \).

У математици често повезујемо (придружујемо) бројеве одређеним објектима или појавама. Најосновнији поступци за то су бројање и мерење.

Када вредност једне величине зависи од друге, ту зависност можемо описати правилом (законитошћу) користећи изразе са променљивама.

Ако сваки ученик добије по 3 свеске, број потребних свезака зависи од броја ученика. Ако број ученика обележимо са \( n \), укупан број свезака можемо приказати изразом \( 3 \cdot n \).

Када посматрамо низ фигура или бројева, можемо открити опште правило по коме се тај низ формира. То правило најчешће везује редни број фигуре у низу са неким њеним својством (нпр. бројем делова).

Анализирај првих неколико елемената низа и растави их на делове како би уочио шта је стално, а шта се мења.

Повежи променљиви део са редним бројем елемента (\( n \)).

Напиши израз са променљивом \( n \).

Правимо низ квадрата од шибица тако што се сваки следећи квадрат надовезује на претходни.

Број квадрата (\( n \))	1	2	3	4
Број шибица	4	7	10	13
Законитост	\( 1 + 3 \cdot 1 \)	\( 1 + 3 \cdot 2 \)	\( 1 + 3 \cdot 3 \)	\( 1 + 3 \cdot 4 \)

Уочавамо да је за први квадрат потребно 4 шибице (1 почетна + 3 нове). За сваки следећи квадрат додајемо још по 3 шибице. Опште правило за \( n \) квадрата је: \( 1 + 3 \cdot n \).

Користећи правило из претходног примера, израчунај колико је шибица потребно за израду низа од 50 квадрата.

Примењујемо правило \( 1 + 3 \cdot n \), где је \( n = 50 \). \[ 1 + 3 \cdot 50 = 1 + 150 = 151 \] Одговор: Потребна је 151 шибица.

Неке величине зависе од две или више других величина. У тим случајевима користимо изразе са две или више променљивих.

Обим правоугаоника зависи и од дужине странице \( a \), и од дужине странице \( b \). Формула за обим је израз са две променљиве: \[ O = 2 \cdot a + 2 \cdot b \]

Због једноставнијег записивања, знак за множење (\( \cdot \)) се често изоставља између броја и променљиве, као и између две променљиве.

На пример:

\( 3 \cdot n \) пишемо као \( 3n \)
\( 2 \cdot a + 2 \cdot b \) пишемо као \( 2a + 2b \)
\( a \cdot b \) пишемо као \( ab \)

Задаци за вежбање

Лаки ниво: Посматрај табелу која бројевима из првог реда придружује бројеве у другом реду по одређеном правилу. Откриј правило и одреди вредност \( y \) када је \( x = 6 \).

\( x \)	1	2	3	4
\( y \)	5	10	15	20

Уочавамо да је сваки број \( y \) пет пута већи од броја \( x \).
Правило је: \( y = 5x \).
Када је \( x = 6 \), тада је \( y = 5 \cdot 6 = 30 \).

Средњи ниво: Од шибица се прави низ спојених једнакостраничних троуглова. За први троугао су потребне 3 шибице. За сваки следећи спојени троугао потребне су још 2 шибице. Напиши израз за број шибица ако се низ састоји од \( n \) троуглова, а затим израчунај број шибица за 100 троуглова.

Број шибица за 1. троугао: 3 (можемо записати као \( 1 + 2 \cdot 1 \)).
Број шибица за 2. троугао: 5 (\( 1 + 2 \cdot 2 \)).
Број шибица за 3. троугао: 7 (\( 1 + 2 \cdot 3 \)).
Правило за \( n \) троуглова је: \( 1 + 2n \).
За 100 троуглова: \( 1 + 2 \cdot 100 = 1 + 200 = 201 \).

Тежи ниво: Цена изнајмљивања бицикла састоји се од фиксне накнаде од 200 динара и додатних 50 динара за сваки започети сат вожње (\( h \)).
а) Напиши израз са једном променљивом који представља укупну цену изнајмљивања.
б) Ако су Марко и Јован изнајмили два бицикла, Марко на 3 сата, а Јован на 5 сати, колико су укупно новца платили?

а) Укупна цена зависи од броја сати \( h \). Израз је: \( 200 + 50h \).
б) Марко је платио: \( 200 + 50 \cdot 3 = 200 + 150 = 350 \) динара.
Јован је платио: \( 200 + 50 \cdot 5 = 200 + 250 = 450 \) динара.
Укупно су платили: \( 350 + 450 = 800 \) динара.

I.6. Придруживање

Изабери решење задатка:

а)

1. Анализирамо вредности из табеле

2. Уочавамо правилност

б)

1. Анализирамо вредности из табеле

2. Уочавамо правилност

в)

1. Анализирамо вредности из табеле

2. Уочавамо правилност

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

а)

1. Анализирамо вредности из табеле

2. Уочавамо правилност

б)

1. Анализирамо вредности из табеле

2. Уочавамо правилност

в)

1. Анализирамо вредности из табеле

2. Уочавамо правилност

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: