Најважније из лекције
Однос две праве у равни:
Дужи и полуправе: Сматрају се паралелним искључиво ако леже на истим или на паралелним правама (чињеница да се не додирују није довољна да би биле паралелне).
- Секу се: Имају тачно једну заједничку тачку (пресечна тачка). Ознака: \( a \cap b = \{P\} \).
- Паралелне су: Немају заједничких тачака. Ознака: \( p \parallel q \).
Дужи и полуправе: Сматрају се паралелним искључиво ако леже на истим или на паралелним правама (чињеница да се не додирују није довољна да би биле паралелне).
За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која их садржи.
Две различите праве могу имати највише једну заједничку тачку. Оне се или секу у тој једној тачки или уопште немају заједничких тачака.
Ако се праве \( a \) и \( b \) секу у тачки \( P \), то записујемо као:
\[ a \cap b = \{P\} \text{ или } b \cap a = \{P\} \]
Тачка \( P \) се назива пресечна тачка правих \( a \) и \( b \).
Да ли две различите праве могу да се секу у две тачке?
Одговор: Не. Две различите праве могу имати највише једну заједничку тачку. Ако би имале две заједничке тачке, то би заправо била једна иста права.
Ако две праве у једној равни немају заједничких тачака, кажемо да су паралелне.
Паралелност правих \( p \) и \( q \) записујемо као:
\[ p \parallel q \text{ или } q \parallel p \]
За сваку праву \( p \) и сваку тачку \( A \) која не припада правој \( p \) (\( A \notin p \)), постоји тачно једна права која садржи тачку \( A \) и паралелна је са правом \( p \).
Дат је запис \( c \cap d = \emptyset \). У каквом су односу праве \( c \) и \( d \)?
Одговор: Праве \( c \) и \( d \) су паралелне (\( c \parallel d \)), јер чињеница да је њихов пресек празан скуп (\( \emptyset \)) значи да немају заједничких тачака.
Да бисмо прецизно нацртали праву \( q \) која је паралелна са датом правом \( p \), користимо два лењира (обично један правоугли троугаони лењир и један раван лењир).
Једну ивицу троугаоног лењира поставимо уз дату праву \( p \).
Други (раван) лењир поставимо чврсто уз неку другу ивицу троугаоног лењира.
Померамо троугаони лењир тако да клизи по ивици обичног лењира, а затим уз његову ивицу повлачимо нову праву \( q \) (која ће бити паралелна са \( p \)).
Две дужи су паралелне ако се налазе на истој правој или на паралелним правама. Исти услов важи и за полуправе.
Дужи могу да немају заједничких тачака, а да нису паралелне! То се дешава када оне леже на правама које се секу ван тих дужи.
Полуправе \( M_m \) и \( N_n \) леже на правама \( a \) и \( b \). Ако знамо да се праве \( a \) и \( b \) секу, да ли полуправе \( M_m \) и \( N_n \) могу бити паралелне?
Одговор: Не. Да би полуправе биле паралелне, оне морају припадати истим или паралелним правама. Пошто се праве \( a \) и \( b \) секу, полуправе на њима не могу бити паралелне.
Задаци за вежбање
Лак: Дате су праве \( x \) и \( y \) у истој равни. Ако знамо да оне нису паралелне, колико заједничких тачака оне имају?
Одговор: Имају тачно једну заједничку тачку (секу се). Две различите праве у равни или су паралелне (немају заједничких тачака) или се секу (имају једну заједничку тачку).
Средњи: Дате су праве \( a, b \) и \( c \). Ако знамо да је \( a \parallel b \) и \( b \parallel c \), у каквом су односу праве \( a \) и \( c \)?
Одговор: Праве \( a \) и \( c \) су такође паралелне (\( a \parallel c \)).
Тежак: Дужи \( AB \) и \( CD \) се не додирују. Да ли можемо са сигурношћу да тврдимо да је \( AB \parallel CD \)? Објасни.
Одговор: Не можемо са сигурношћу тврдити да су паралелне. Иако се саме дужи не секу, праве на којима оне леже (\( p(A, B) \) и \( p(C, D) \)) могу да се секу у некој тачки која се налази изван тих дужи. Дужи су паралелне само ако су праве на којима леже паралелне.
