Задатак 1. Реши неједначину: а) \( 5 \cdot x > 100 \); б) \( 5 \cdot x 33 \); г) \( x : 3 25 \); ђ) \( 1000 : x < 25 \).

а) \( 5 \cdot x > 100 \) Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца Непозната величина \( x \) је чинилац. Непознати чинилац израчунавамо дељењем производа познатим чиниоцем. При томе се знак неједнакости не мења: \[ x > 100 : 5 \] \[ x > 20 \] б) \( 5 \cdot x < 100 \) Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца Непознати чинилац добијамо дељењем производа познатим чиниоцем. Знак неједнакости остаје исти: \[ x < 100 : 5 \] \[ x < 20 \] Корак 2: Записивање скупа решења Како решења неједначине у скупу ра...

Задатак 2. Реши неједначину и скуп решења представи на бројевној полуправој: а) \( x \cdot 0,7 10 \frac{4}{5} \); г) \( x \cdot \frac{5}{6} \le 2,25 \).

а) \( x \cdot 0,7 < 0,014 \) 1. Одређивање непознатог чиниоца Непознати чинилац \( x \) израчунавамо дељењем производа познатим чиниоцем. При томе се знак неједнакости не мења: \[ x < 0,014 : 0,7 \] 2. Израчунавање количника Дељеник и делилац множимо са \( 10 \) како би делилац био природан број: \[ 0,014 : 0,7 = 0,14 : 7 \] \[ 0,14 : 7 = 0,02 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 0,14 & {} : 7 = 0,02 \\ \underline{-0}\phantom{,14} & \\ 01\phantom{4} & \\ \underline{-0}\phantom{4} & \\ 14 & \\ \underline{...

Задатак 3. Којим бројевима можемо помножити број \( 3 \frac{1}{3} \) тако да производ буде: а) већи од \( 10 \frac{1}{6} \); б) не већи од 3,3; в) не мањи од \( 4 \frac{2}{7} \)?

Означимо непознати број са \( x \). У свим подзадацима непозната величина \( x \) је непознати чинилац у производу \( 3\frac{1}{3} \cdot x \). Претворимо мешовити број \( 3\frac{1}{3} \) у неправилан разломак: \[ 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \] а) већи од \( 10\frac{1}{6} \) 1. Постављање неједначине Производ бројева \( 3\frac{1}{3} \) и \( x \) треба да буде већи од \( 10\frac{1}{6} \): \[ 3\frac{1}{3} \cdot x > 10\frac{1}{6} \] \[ \frac{10}{3} \cdot x > \frac{61}{6}...

Задатак 4. Цена једне графитне оловке је 39,99 динара. Колико се тих оловака може купити за 275 динара?

Корак 1: Постављање неједначине Означимо са \( x \) број оловака које можемо купити. Пошто једна оловка кошта \( 39,99 \) динара, укупан износ за \( x \) оловака је \( 39,99 \cdot x \). Тај износ не сме бити већи од расположивог новца, односно мора бити мањи или једнак \( 275 \) динара: \[ 39,99 \cdot x \le 275 \] Корак 2: Одређивање непознатог чиниоца Непознати број оловака \( x \) представља чинилац. Непознати чинилац израчунавамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем, при чему се зна...

Задатак 5. Реши неједначину и скуп решења представи на бројевној полуправој: а) \( x : 2 > 2 \frac{3}{7} \); б) \( x : \frac{10}{11} \ge 1 \frac{1}{4} \); в) \( x : 4,5 \le \frac{2}{7} \); г) \( x : 0,46 < 10,003 \).

а) \( x : 2 > 2 \frac{3}{7} \) 1. Одређивање непознатог дељеника Непозната величина \( x \) је дељеник. Дељеник добијамо множењем количника и делиоца. Знак неједнакости се не мења: \[ x > 2 \frac{3}{7} \cdot 2 \] 2. Рачунање вредности Претварамо мешовити број у неправилан разломак: \[ 2 \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} \] Множимо разломак целим бројем: \[ x > \frac{17}{7} \cdot 2 \] \[ x > \frac{34}{7} \] Претварамо резултат у мешовити број: \[ x > 4 \frac{6}{7} \] 3. Граф...

Задатак 6. Које бројеве можемо поделити бројем 2,5 и добити количник: а) већи од \( \frac{5}{6} \); б) не већи од 0,56; в) не мањи од \( 10 \frac{2}{5} \)?

Нека је непознати број означен са \( x \). У свим деловима задатка делилац је број \( 2,5 \), па непознати број \( x \) представља дељеник, а израз количника је \( x : 2,5 \). Када одређујемо непознати дељеник, количник множимо делиоцем, а знак неједнакости се не мења. Децимални број \( 2,5 \) претварамо у разломак: \[ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{10}_2} = \frac{5}{2} \] а) већи од \( \frac{5}{6} \) Корак 1: Постављање неједначине Количник треба да буде већи од \( \frac...

Задатак 7. Направљени сладолед Лена је поделила у 8 посуда од по 125 ml и још јој је остало сладоледа. Колико је сладоледа Лена направила?

Корак 1: Постављање неједначине Нека је \( x \) укупна количина сладоледа коју је Лена направила (изражена у милилитрима, \( \text{ml} \)). Када се укупна количина сладоледа \( x \) подели у посуде од по \( 125\text{ ml} \), Лена је напунила \( 8 \) посуда и још јој је остало сладоледа. То значи да је количник бројева \( x \) и \( 125 \) строго већи од \( 8 \): \[ x : 125 > 8 \] Корак 2: Одређивање непознатог дељеника Непозната величина \( x \) је дељеник. Непознати дељеник израчунавамо тако шт...

Задатак 8. Провери да ли су бројеви 1, 10 и 0,01 решења неједначине, па је реши и скуп решења представи на бројевној полуправој: а) \( \frac{2}{7} : x > \frac{1}{3} \); б) \( 4 \frac{3}{5} : x \ge \frac{7}{15} \); в) \( 3,5 : x < 0,8 \); г) \( \frac{7}{20} : x < 8,75 \).

а) \( \frac{2}{7} : x > \frac{1}{3} \) Провера датих бројева За \( x = 1 \): \[ \frac{2}{7} : 1 = \frac{2}{7} \] Упоредимо \( \frac{2}{7} \) и \( \frac{1}{3} \) свођењем на заједнички именилац \( \text{НЗС}(7, 3) = 21 \): \[ \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}, \quad \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{7}{21} \] Како је \( \frac{6}{21} < \frac{7}{21} \), неједнакост није тачна, па број 1 није решење. За \( x = 10 \): \[ \frac{2}{7} : 10 = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{\cancel{2...

Задатак 9. Којим бројевима можемо поделити број 4,2 и добити количник: а) не већи од \( \frac{1}{6} \); б) већи од 6; в) мањи од \( 10 \frac{2}{5} \)?

Постављање неједначина Означимо са \( x \) број којим делимо број \( 4{,}2 \). Пошто делилац мора бити различит од нуле, а количник тражимо у скупу разломака, важи \( x \gt 0 \). а) Количник није већи од \( \frac{1}{6} \) Задатак се своди на неједначину \[ 4{,}2 : x \le \frac{1}{6}. \] Што је делилац већи, то је количник мањи, па је \[ x \ge 4{,}2 : \frac{1}{6} = 4{,}2 \cdot 6 = 25{,}2. \] б) Количник је већи од \( 6 \) \[ 4{,}2 : x \gt 6 \quad \Rightarrow \quad x \lt 4{,}2 : 6 = 0{,}7. \] Уз...

Задатак 10. На колико једнаких делова можемо да поделимо 23,8 kg брашна, тако да сваки део има између 500 g и 600 g?

Корак 1: Претварање мерних јединица и постављање неједначина Означимо са \( n \) број делова на које делимо брашно. Број делова \( n \) мора бити природан број (\( n \in \mathbb{N} \)). Претворимо све масе у исте мерне јединице (граме или килограме): \[ 23,8\text{ kg} = 23,8 \cdot 1000\text{ g} = 23800\text{ g} \] Маса једног дела износи \( 23800 : n \). Према услову задатка, сваки део мора имати масу строго између \( 500\text{ g} \) и \( 600\text{ g} \): \[ 500 < 23800 : n < 600 \] Овај двојни...

Задатак 11. Одреди заједничка решења неједначина: а) \( 1,9 : x \ge 0,4 \) и \( 1,9 - x 1,3 \).

а) \( 1,9 : x \ge 0,4 \) и \( 1,9 - x 0 \)): \[ x \le 1,9 : 0,4 = 19 : 4 = 4,75 \] Решење прве неједначине је \( 0 < x \le 4,75 \). Корак 2: Решавање друге неједначине У неједначини \( 1,9 - x < 0,35 \), непозната \( x \) је умањилац. Да бисмо израчунали непознати умањилац, од умањеник...

Задатак 12. Реши неједначину и скуп решења представи на бројевној полуправој: а) \( 3 \frac{1}{3} \cdot x + \frac{3}{5} \le 1 \frac{1}{2} \); б) \( 1 \frac{3}{7} \cdot x - 8,9 \ge 1,1 \); в) \( 7,9 - 2,5 \cdot x > 1,9 \).

а) \( 3 \frac{1}{3} \cdot x + \frac{3}{5} \le 1 \frac{1}{2} \) Корак 1: Одређивање непознатог сабирка У датој неједначини израз \( 3 \frac{1}{3} \cdot x \) је непознати сабирак. Одређујемо га тако што од збира одузмемо познати сабирак: \[ 3 \frac{1}{3} \cdot x \le 1 \frac{1}{2} - \frac{3}{5} \] Претворимо мешовите бројеве у неправилне разломке: \[ 3 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \] \[ 1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \] Нађемо заједнички именилац за...

Неједначине

Најважније из лекције

Приликом решавања неједначина са множењем и дељењем, кључно је запамтити понашање знака неједнакости:

Непознат чинилац (\( a \cdot x < b \)): Знак неједнакости остаје исти.
Непознат дељеник (\( x : a < b \)): Знак неједнакости остаје исти.
Непознат делилац (\( a : x < b \)): Знак неједнакости се мења у супротан (окреће се), а такође се мора узети у обзир услов да делилац мора бити већи од нуле (\( x > 0 \)).

Смањивањем чиниоца производ се смањује, а повећавањем чиниоца производ се повећава.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат чинилац знак неједнакости не мења.

Ако је \( a \cdot x < b \), онда је \( x < b : a \).
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))

\( 4 \cdot x \le 2,2 \)
\( x \le 2,2 : 4 \)
\( x \le 0,55 \)

Реши неједначину: \( x \cdot \frac{2}{3} > \frac{1}{5} \).

\( x > \frac{1}{5} : \frac{2}{3} \)
\( x > \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \)
Одговор: \( x > \frac{3}{10} \)

Смањивањем дељеника количник се смањује, а повећавањем дељеника количник се повећава.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат дељеник знак неједнакости не мења.

Ако је \( x : a < b \), онда је \( x < b \cdot a \).
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))

\( x : 3,7 \le 1,2 \)
\( x \le 1,2 \cdot 3,7 \)
\( x \le 4,44 \)

Реши неједначину: \( x : \frac{4}{9} > 1,5 \).

\( 1,5 = \frac{3}{2} \)
\( x > \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \)
\( x > \frac{12}{18} \)
Одговор: \( x > \frac{2}{3} \)

Нулом се не дели! Број 0 не може бити решење ових неједначина (услов је \( x \neq 0 \)). У скупу позитивних разломака важи услов \( x > 0 \).

Смањивањем делиоца количник се повећава, а повећавањем делиоца количник се смањује.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат делилац знак неједнакости мења (окреће се у супротан).

Ако је \( a : x < b \), онда је \( x > a : b \).
Ако је \( a : x \ge b \), онда је \( x \le a : b \).

\( 1,7 : x < 0,8 \)
\( x > 1,7 : 0,8 \) (Знак се окренуо!)
\( x > 2,125 \)

Реши неједначину: \( 0,93 : x > 1,2 \).

\( x < 0,93 : 1,2 \) (Знак се окренуо!)
\( x < 0,775 \)
Пошто делилац мора бити већи од нуле, коначно решење је:
Одговор: \( 0 < x < 0,775 \)

Код сложенијих израза, део који садржи непознату (производ или количник) прво се посматра као једна целина (нпр. непознати сабирак, умањеник или умањилац), а тек се у следећем кораку решава множење или дељење.

Израз \( 2 \cdot x \) посматрамо као непознати сабирак.

Израчунамо вредност тог сабирка.

Решавамо једноставну неједначину са непознатим чиниоцем.

\( 2 \cdot x + \frac{2}{3} > \frac{3}{4} \)
\( 2 \cdot x > \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \)
\( 2 \cdot x > \frac{9}{12} - \frac{8}{12} \)
\( 2 \cdot x > \frac{1}{12} \)
\( x > \frac{1}{12} : 2 \)
\( x > \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow x > \frac{1}{24} \)

Задаци за вежбање

Лак: Реши неједначину: \( 1 \frac{1}{4} \cdot x \ge 1 \frac{1}{5} \).

Непознат је чинилац, знак остаје исти.
\( x \ge 1 \frac{1}{5} : 1 \frac{1}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} : \frac{5}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5} \)
Одговор: \( x \ge \frac{24}{25} \)

Средњи: Реши неједначину: \( x : 0,78 < \frac{3}{4} \).

Непознат је дељеник, знак остаје исти.
\( \frac{3}{4} = 0,75 \)
\( x < 0,75 \cdot 0,78 \)
Одговор: \( x < 0,585 \)

Тежак: Реши неједначину и одреди скуп решења: \( \frac{5}{8} : x \ge 3 \frac{3}{4} \).

Непознат је делилац, знак се мења.
\( x \le \frac{5}{8} : 3 \frac{3}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} : \frac{15}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} \)
\( x \le \frac{1}{6} \)
Како делилац мора бити већи од нуле (\( x > 0 \)), потребно је додати тај услов.
Одговор: \( 0 < x \le \frac{1}{6} \)

IV.19. Неједначине

Изабери решење задатка:

Корак 1: Претварање мерних јединица и постављање неједначина

Корак 2: Решавање прве неједначине

Корак 3: Решавање друге неједначине

Корак 4: Одређивање броја једнаких делова

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Корак 1: Претварање мерних јединица и постављање неједначина

Корак 2: Решавање прве неједначине

Корак 3: Решавање друге неједначине

Корак 4: Одређивање броја једнаких делова

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: