IV.19. Неједначине

а) \( \frac{2}{7} : x > \frac{1}{3} \)

Провера датих бројева

За \( x = 1 \): \[ \frac{2}{7} : 1 = \frac{2}{7} \] Упоредимо \( \frac{2}{7} \) и \( \frac{1}{3} \) свођењем на заједнички именилац \( \text{НЗС}(7, 3) = 21 \): \[ \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}, \quad \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{7}{21} \] Како је \( \frac{6}{21} < \frac{7}{21} \), неједнакост није тачна, па број 1 није решење. За \( x = 10 \): \[ \frac{2}{7} : 10 = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{\cancel{2}^1}{7} \cdot \frac{1}{\cancel{10}_5} = \frac{1}{35} \] Упоредимо \( \frac{1}{35} \) и \( \frac{1}{3} \). Разломци са једнаким бројиоцима су већи ако им је именилац мањи: \[ \frac{1}{35} < \frac{1}{3} \] Неједнакост није тачна, па број 10 није решење. За \( x = 0,01 = \frac{1}{100} \): \[ \frac{2}{7} : \frac{1}{100} = \frac{2}{7} \cdot 100 = \frac{200}{7} = 28\frac{4}{7} \] Како је \( 28\frac{4}{7} > \frac{1}{3} \), неједнакост је тачна, па број 0,01 јесте решење.

Решавање неједначине

Када је непозната делилац, дељеник делимо количником уз промену знака неједнакости: \[ x < \frac{2}{7} : \frac{1}{3} \] \[ x < \frac{2}{7} \cdot 3 \] \[ x < \frac{6}{7} \] Пошто делилац мора бити строго већи од нуле (\( x > 0 \)), скуп свих решења је: \[ 0 < x < \frac{6}{7} \]

Графички приказ решења

Нацртајте хоризонталну бројевну полуправу која почиње од броја 0 и протеже се удесно, завршавајући стрелицом. Означите број 0 на почетку полуправе и број 1 десно од 0, на одређеној јединичној удаљености. Између 0 и 1, тачније ближе броју 1 (приближно на 6/7 удаљености од 0), поставите и означите број \( \frac{6}{7} \). На позицији броја \( \frac{6}{7} \) на бројевној полуправи нацртајте празан (необојен) кружић. Изнад бројевне полуправе, на висини од приближно 0.3 јединице, нацртајте плаву хоризонталну линију која представља скуп решења. Ова плава линија почиње од позиције изнад броја 0. На свом левом крају (изнад 0), плава линија се спаја са бројем 0 на бројевној полуправи помоћу отвореног лука који се криви нагоре и удесно. Плава линија се хоризонтално протеже удесно до позиције изнад броја \( \frac{6}{7} \). На свом десном крају (изнад \( \frac{6}{7} \)), плава линија се спаја са бројем \( \frac{6}{7} \) на бројевној полуправи помоћу отвореног лука који се криви нагоре и улево. Ова плава линија представља интервал свих позитивних бројева који су мањи од \( \frac{6}{7} \), тј. \( (0, \frac{6}{7}) \).

б) \( 4 \frac{3}{5} : x \ge \frac{7}{15} \)

Провера датих бројева

Претворимо мешовити број у неправилан разломак: \[ 4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5} \] За \( x = 1 \): \[ \frac{23}{5} : 1 = \frac{23}{5} \] Сведимо на заједнички именилац 15: \[ \frac{23 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{69}{15} \ge \frac{7}{15} \] Неједнакост је тачна, па број 1 јесте решење. За \( x = 10 \): \[ \frac{23}{5} : 10 = \frac{23}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{23}{50} \] Упоредимо \( \frac{23}{50} \) и \( \frac{7}{15} \). Заједнички именилац је \( \text{НЗС}(50, 15) = 150 \): \[ \frac{23 \cdot 3}{50 \cdot 3} = \frac{69}{150}, \quad \frac{7 \cdot 10}{15 \cdot 10} = \frac{70}{150} \] Како је \( \frac{69}{150} < \frac{70}{150} \), неједнакост није тачна, па број 10 није решење. За \( x = 0,01 = \frac{1}{100} \): \[ \frac{23}{5} : \frac{1}{100} = \frac{23}{\cancel{5}_1} \cdot \cancel{100}^{20} = 460 \] Како је \( 460 \ge \frac{7}{15} \), неједнакост је тачна, па број 0,01 јесте решење.

Решавање неједначине

Када је непозната делилац, мењамо смер знака неједнакости: \[ x \le \frac{23}{5} : \frac{7}{15} \] \[ x \le \frac{23}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{15}^3}{7} \] \[ x \le \frac{69}{7} \] Претворимо у мешовити број: \[ 69 : 7 = 9 \text{ (остатак } 6) \implies x \le 9\frac{6}{7} \] Уз услов да је делилац већи од нуле (\( x > 0 \)), скуп решења је: \[ 0 < x \le 9\frac{6}{7} \]

Графички приказ решења

Нацртајте бројевну праву са стрелицама на оба краја. Означите бројеве 0 и \( 9\frac{6}{7} \) на бројевној правој. На месту броја 0 поставите празан кружић са ознаком "0" испод. На месту броја \( 9\frac{6}{7} \) поставите пун кружић са ознаком "\($ 9\frac{6}{7} $\)" испод. Изнад бројевне праве, нацртајте дебелу плаву линију решења. Ова линија треба да почне од тачке изнад 0, повезујући се са њом луком отвореним надесно. Затим се линија протеже хоризонтално до тачке изнад \( 9\frac{6}{7} \), где се повезује са пуним кружићем помоћу кратког вертикалног сегмента (правог угла). Тиме је представљен интервал решења \( (0, 9\frac{6}{7}] \).

в) \( 3,5 : x < 0,8 \)

Провера датих бројева

За \( x = 1 \): \[ 3,5 : 1 = 3,5 \] Како је \( 3,5 > 0,8 \), неједнакост \( 3,5 < 0,8 \) није тачна, па број 1 није решење. За \( x = 10 \): \[ 3,5 : 10 = 0,35 \] Како је \( 0,35 < 0,8 \), неједнакост је тачна, па број 10 јесте решење. За \( x = 0,01 \): \[ 3,5 : 0,01 = 350 \] Како је \( 350 > 0,8 \), неједнакост није тачна, па број 0,01 није решење.

Решавање неједначине

Када је непозната делилац, мењамо смер знака неједнакости: \[ x > 3,5 : 0,8 \] Проширимо оба броја са 10: \[ x > 35 : 8 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 35 & {} : 8 = 4,375 \\ \underline{-32}\phantom{,000} & \\ 30\phantom{,00} & \\ \underline{-24}\phantom{,00} & \\ 60\phantom{,} & \\ \underline{-56}\phantom{,} & \\ 40 & \\ \underline{-40} & \\ 0 & \end{array} \] \[ x > 4,375 \] Скуп решења је: \[ x > 4,375 \]

Графички приказ решења

Нацртајте бројевну полуправу, која почиње од 0 и протеже се удесно, са стрелицом на десном крају. Означите тачке 0 и 4,375 на њој, са одговарајућим етикетама испод бројевне линије. На тачки 4,375 поставите празан кружић. Изнад бројевне полуправе, нацртајте дебелу плаву линију која представља решење: она почиње са луком (отвореним ка лево) изнад празног кружића на 4,375 и протеже се бесконачно удесно са стрелицом, показујући скуп решења \( x > 4,375 \).

г) \( \frac{7}{20} : x < 8,75 \)

Провера датих бројева

Запишимо оба броја у истом облику: \[ \frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0,35 \] За \( x = 1 \): \[ 0,35 : 1 = 0,35 \] Како је \( 0,35 < 8,75 \), неједнакост је тачна, па број 1 јесте решење. За \( x = 10 \): \[ 0,35 : 10 = 0,035 \] Како је \( 0,035 < 8,75 \), неједнакост је тачна, па број 10 јесте решење. За \( x = 0,01 \): \[ 0,35 : 0,01 = 35 \] Како је \( 35 > 8,75 \), неједнакост није тачна, па број 0,01 није решење.

Решавање неједначине

Претворимо децимални број у разломак: \[ 8,75 = 8\frac{75}{100} = 8\frac{3}{4} = \frac{35}{4} \] Када је непозната делилац, мењамо знак неједнакости: \[ x > \frac{7}{20} : \frac{35}{4} \] \[ x > \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{20}_5} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{35}_5} \] \[ x > \frac{1}{25} \] У децималном запису: \[ \frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100} = 0,04 \] Скуп свих решења је: \[ x > 0,04 \quad \left( \text{односно } x > \frac{1}{25} \right) \]

Графички приказ решења

Нацртајте хоризонталну бројевну полуправу која почиње од 0 и простире се удесно, са стрелицом на десном крају. Означите тачку 0 (нулту тачку) и тачку 0,04 на полуправој, обе испод линије. За решење \( x > 0,04 \), нацртајте дебелу плаву линију изнад бројевне полуправе. На позицији изнад тачке 0,04, нацртајте отворен лук (као за искључену тачку) на плавој линији, који се спушта до тачке 0,04 на главној линији и отвара се удесно. Плава линија решења треба да се простире удесно од тог лука до бесконачности.

а)

Решење је само \( 0,01 \). \[ x < \frac{2}{7} : \frac{1}{3} = \frac{6}{7} \implies 0 < x < \frac{6}{7} \]

б)

Решења су \( 1 \) и \( 0,01 \). \[ x \le \frac{23}{5} : \frac{7}{15} = 9\frac{6}{7} \implies 0 < x \le 9\frac{6}{7} \]

в)

Решење је само \( 10 \). \[ x > 3,5 : 0,8 = 4,375 \]

г)

Решења су \( 1 \) и \( 10 \). \[ x > \frac{7}{20} : \frac{35}{4} = \frac{1}{25} = 0,04 \]