Задатак 1. Реши неједначину: а) \( 5 \cdot x > 100 \); б) \( 5 \cdot x 33 \); г) \( x : 3 25 \); ђ) \( 1000 : x < 25 \).

а) \( 5 \cdot x > 100 \) Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца Непозната величина \( x \) је чинилац. Непознати чинилац израчунавамо дељењем производа познатим чиниоцем. При томе се знак неједнакости не мења: \[ x > 100 : 5 \] \[ x > 20 \] б) \( 5 \cdot x < 100 \) Корак 1: Одређивање непознатог чиниоца Непознати чинилац добијамо дељењем производа познатим чиниоцем. Знак неједнакости остаје исти: \[ x < 100 : 5 \] \[ x < 20 \] Корак 2: Записивање скупа решења Како решења неједначине у скупу ра...

Задатак 2. Реши неједначину и скуп решења представи на бројевној полуправој: а) \( x \cdot 0,7 10 \frac{4}{5} \); г) \( x \cdot \frac{5}{6} \le 2,25 \).

а) \( x \cdot 0,7 < 0,014 \) 1. Одређивање непознатог чиниоца Непознати чинилац \( x \) израчунавамо дељењем производа познатим чиниоцем. При томе се знак неједнакости не мења: \[ x < 0,014 : 0,7 \] 2. Израчунавање количника Дељеник и делилац множимо са \( 10 \) како би делилац био природан број: \[ 0,014 : 0,7 = 0,14 : 7 \] \[ 0,14 : 7 = 0,02 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 0,14 & {} : 7 = 0,02 \\ \underline{-0}\phantom{,14} & \\ 01\phantom{4} & \\ \underline{-0}\phantom{4} & \\ 14 & \\ \underline{...

Задатак 3. Којим бројевима можемо помножити број \( 3 \frac{1}{3} \) тако да производ буде: а) већи од \( 10 \frac{1}{6} \); б) не већи од 3,3; в) не мањи од \( 4 \frac{2}{7} \)?

Означимо непознати број са \( x \). У свим подзадацима непозната величина \( x \) је непознати чинилац у производу \( 3\frac{1}{3} \cdot x \). Претворимо мешовити број \( 3\frac{1}{3} \) у неправилан разломак: \[ 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \] а) већи од \( 10\frac{1}{6} \) 1. Постављање неједначине Производ бројева \( 3\frac{1}{3} \) и \( x \) треба да буде већи од \( 10\frac{1}{6} \): \[ 3\frac{1}{3} \cdot x > 10\frac{1}{6} \] \[ \frac{10}{3} \cdot x > \frac{61}{6}...

Задатак 4. Цена једне графитне оловке је 39,99 динара. Колико се тих оловака може купити за 275 динара?

Корак 1: Постављање неједначине Означимо са \( x \) број оловака које можемо купити. Пошто једна оловка кошта \( 39,99 \) динара, укупан износ за \( x \) оловака је \( 39,99 \cdot x \). Тај износ не сме бити већи од расположивог новца, односно мора бити мањи или једнак \( 275 \) динара: \[ 39,99 \cdot x \le 275 \] Корак 2: Одређивање непознатог чиниоца Непознати број оловака \( x \) представља чинилац. Непознати чинилац израчунавамо тако што производ поделимо познатим чиниоцем, при чему се зна...

Задатак 6. Које бројеве можемо поделити бројем 2,5 и добити количник: а) већи од \( \frac{5}{6} \); б) не већи од 0,56; в) не мањи од \( 10 \frac{2}{5} \)?

Нека је непознати број означен са \( x \). У свим деловима задатка делилац је број \( 2,5 \), па непознати број \( x \) представља дељеник, а израз количника је \( x : 2,5 \). Када одређујемо непознати дељеник, количник множимо делиоцем, а знак неједнакости се не мења. Децимални број \( 2,5 \) претварамо у разломак: \[ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{10}_2} = \frac{5}{2} \] а) већи од \( \frac{5}{6} \) Корак 1: Постављање неједначине Количник треба да буде већи од \( \frac...

Задатак 7. Направљени сладолед Лена је поделила у 8 посуда од по 125 ml и још јој је остало сладоледа. Колико је сладоледа Лена направила?

Корак 1: Постављање неједначине Нека је \( x \) укупна количина сладоледа коју је Лена направила (изражена у милилитрима, \( \text{ml} \)). Када се укупна количина сладоледа \( x \) подели у посуде од по \( 125\text{ ml} \), Лена је напунила \( 8 \) посуда и још јој је остало сладоледа. То значи да је количник бројева \( x \) и \( 125 \) строго већи од \( 8 \): \[ x : 125 > 8 \] Корак 2: Одређивање непознатог дељеника Непозната величина \( x \) је дељеник. Непознати дељеник израчунавамо тако шт...

Задатак 8. Провери да ли су бројеви 1, 10 и 0,01 решења неједначине, па је реши и скуп решења представи на бројевној полуправој: а) \( \frac{2}{7} : x > \frac{1}{3} \); б) \( 4 \frac{3}{5} : x \ge \frac{7}{15} \); в) \( 3,5 : x < 0,8 \); г) \( \frac{7}{20} : x < 8,75 \).

а) \( \frac{2}{7} : x > \frac{1}{3} \) Провера датих бројева За \( x = 1 \): \[ \frac{2}{7} : 1 = \frac{2}{7} \] Упоредимо \( \frac{2}{7} \) и \( \frac{1}{3} \) свођењем на заједнички именилац \( \text{НЗС}(7, 3) = 21 \): \[ \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{6}{21}, \quad \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{7}{21} \] Како је \( \frac{6}{21} < \frac{7}{21} \), неједнакост није тачна, па број 1 није решење. За \( x = 10 \): \[ \frac{2}{7} : 10 = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{\cancel{2...

Задатак 9. Којим бројевима можемо поделити број 4,2 и добити количник: а) не већи од \( \frac{1}{6} \); б) већи од 6; в) мањи од \( 10 \frac{2}{5} \)?

Постављање неједначина Означимо са \( x \) број којим делимо број \( 4{,}2 \). Пошто делилац мора бити различит од нуле, а количник тражимо у скупу разломака, важи \( x \gt 0 \). а) Количник није већи од \( \frac{1}{6} \) Задатак се своди на неједначину \[ 4{,}2 : x \le \frac{1}{6}. \] Што је делилац већи, то је количник мањи, па је \[ x \ge 4{,}2 : \frac{1}{6} = 4{,}2 \cdot 6 = 25{,}2. \] б) Количник је већи од \( 6 \) \[ 4{,}2 : x \gt 6 \quad \Rightarrow \quad x \lt 4{,}2 : 6 = 0{,}7. \] Уз...

Задатак 10. На колико једнаких делова можемо да поделимо 23,8 kg брашна, тако да сваки део има између 500 g и 600 g?

Корак 1: Претварање мерних јединица и постављање неједначина Означимо са \( n \) број делова на које делимо брашно. Број делова \( n \) мора бити природан број (\( n \in \mathbb{N} \)). Претворимо све масе у исте мерне јединице (граме или килограме): \[ 23,8\text{ kg} = 23,8 \cdot 1000\text{ g} = 23800\text{ g} \] Маса једног дела износи \( 23800 : n \). Према услову задатка, сваки део мора имати масу строго између \( 500\text{ g} \) и \( 600\text{ g} \): \[ 500 < 23800 : n < 600 \] Овај двојни...

Задатак 11. Одреди заједничка решења неједначина: а) \( 1,9 : x \ge 0,4 \) и \( 1,9 - x 1,3 \).

а) \( 1,9 : x \ge 0,4 \) и \( 1,9 - x 0 \)): \[ x \le 1,9 : 0,4 = 19 : 4 = 4,75 \] Решење прве неједначине је \( 0 < x \le 4,75 \). Корак 2: Решавање друге неједначине У неједначини \( 1,9 - x < 0,35 \), непозната \( x \) је умањилац. Да бисмо израчунали непознати умањилац, од умањеник...

Задатак 12. Реши неједначину и скуп решења представи на бројевној полуправој: а) \( 3 \frac{1}{3} \cdot x + \frac{3}{5} \le 1 \frac{1}{2} \); б) \( 1 \frac{3}{7} \cdot x - 8,9 \ge 1,1 \); в) \( 7,9 - 2,5 \cdot x > 1,9 \).

а) \( 3 \frac{1}{3} \cdot x + \frac{3}{5} \le 1 \frac{1}{2} \) Корак 1: Одређивање непознатог сабирка У датој неједначини израз \( 3 \frac{1}{3} \cdot x \) је непознати сабирак. Одређујемо га тако што од збира одузмемо познати сабирак: \[ 3 \frac{1}{3} \cdot x \le 1 \frac{1}{2} - \frac{3}{5} \] Претворимо мешовите бројеве у неправилне разломке: \[ 3 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \] \[ 1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \] Нађемо заједнички именилац за...

Неједначине

Изабери решење задатка:

а)\[ x : 2 > 2 \frac{3}{7} \]\[ x > 2 \frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{17}{7} \cdot 2 = \frac{34}{7} = 4 \frac{6}{7} \]\[ x > 4 \frac{6}{7} \]
б)\[ x : \frac{10}{11} \ge 1 \frac{1}{4} \]\[ x \ge 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{10}{11} = \frac{5}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{10}^5}{11} = \frac{25}{22} = 1 \frac{3}{22} \]\[ x \ge 1 \frac{3}{22} \]
в)\[ x : 4,5 \le \frac{2}{7} \]\[ 0 \le x \le \frac{2}{7} \cdot 4,5 = \frac{\cancel{2}^1}{7} \cdot \frac{9}{\cancel{2}_1} = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7} \]\[ 0 \le x \le 1 \frac{2}{7} \]
г)\[ x : 0,46 < 10,003 \]\[ 0 \le x < 10,003 \cdot 0,46 \]\[ 10,003 \cdot 0,46 = 4,60138 \]\[ \begin{array}{r@{}l} 10,003 \cdot 0,46 & \\ \hline 60018 & \\ +\,40012\phantom{0} & \\ \hline 4,60138 & \end{array} \]\[ 0 \le x < 4,60138 \]

а) \( x : 2 > 2 \frac{3}{7} \)

1. Одређивање непознатог дељеника
Непозната величина \( x \) је дељеник. Дељеник добијамо множењем количника и делиоца. Знак неједнакости се не мења:
\[ x > 2 \frac{3}{7} \cdot 2 \]

2. Рачунање вредности
Претварамо мешовити број у неправилан разломак:
\[ 2 \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} \]
Множимо разломак целим бројем:
\[ x > \frac{17}{7} \cdot 2 \]
\[ x > \frac{34}{7} \]
Претварамо резултат у мешовити број:
\[ x > 4 \frac{6}{7} \]

3. Графички приказ

Нацртај хоризонталну бројевну полуправу која почиње од тачке 0 и протеже се удесно, завршавајући се стрелицом. Означи тачку \( 4 \frac{6}{7} \) на бројевној полуправи празним кружићем, са лабелом \( 4 \frac{6}{7} \) испод ње. Изнад бројевне полуправе, прикажи скуп решења: нацртај дебелу плаву линију која почиње изнад тачке \( 4 \frac{6}{7} \) и протеже се удесно до бесконачности, завршавајући се стрелицом. На почетку те плаве линије, нацртај плави лук који спаја празним кружићем на бројевној полуправи са дебелом плавом линијом изнад, означавајући да тачка није укључена у скуп решења.

б) \( x : \frac{10}{11} \ge 1 \frac{1}{4} \)

1. Одређивање непознатог дељеника
Непознати дељеник добијамо множењем количника делиоцем. Знак неједнакости се не мења:
\[ x \ge 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{10}{11} \]

2. Рачунање вредности
Претварамо мешовити број \( 1 \frac{1}{4} \) у разломак:
\[ 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Множимо разломке и скраћујемо бројеве 4 и 10 њиховим заједничким делиоцем 2:
\[ x \ge \frac{5}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{10}^5}{11} \]
\[ x \ge \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 11} \]
\[ x \ge \frac{25}{22} \]
Претварамо у мешовити број:
\[ x \ge 1 \frac{3}{22} \]

3. Графички приказ

Нацртај бројевну полуправу која почиње од тачке 0 и протеже се у десно, завршавајући стрелицом. Означи тачку 0 на полуправи. Постави тачку \( 1 \frac{3}{22} \) десно од 0 и означи је пуним кружићем. Изнад бројевне полуправе, нацртај дебелу плаву линију која представља скуп решења \( [1 \frac{3}{22}, \infty) \). Ова линија треба да почне вертикалним сегментом нагоре од пуног кружића на \( 1 \frac{3}{22} \) (формирајући прави угао), а затим да се хоризонтално протеже у десно, са отвореним крајем који симболизује бесконачност.

в) \( x : 4,5 \le \frac{2}{7} \)

1. Одређивање непознатог дељеника
Непознати дељеник израчунавамо множењем количника делиоцем:
\[ x \le \frac{2}{7} \cdot 4,5 \]
Пошто у скупу разломака и децималних бројева бројеви не могу бити негативни, решење мора бити веће или једнако нули:
\[ 0 \le x \le \frac{2}{7} \cdot 4,5 \]

2. Рачунање вредности
Записујемо децимални број \( 4,5 \) као разломак и скраћујемо:
\[ 4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2} \]
Множимо разломке и скраћујемо број 2:
\[ \frac{\cancel{2}^1}{7} \cdot \frac{9}{\cancel{2}_1} = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7} \]
Скуп решења је:
\[ 0 \le x \le 1 \frac{2}{7} \]

3. Графички приказ

Нацртај бројевну полуправу која почиње од нуле (0) и протеже се у позитивном смеру (десно), са стрелицом на десном крају. Означи тачку 0 и додај помоћне ознаке за целе бројеве 1 и 2 на полуправи. На полуправи, означи тачку \( 1 \frac{2}{7} \) (чија је приближна вредност 1.285) пуним кружићем, са одговарајућом ознаком испод ње. Представи скуп решења \([0, 1 \frac{2}{7}]\) на бројевној полуправи, користећи дебелу плаву линију изнад полуправе. Повежи плаву линију са бројевном полуправом кратким вертикалним сегментима (правим углом) код тачке 0 и код тачке \( 1 \frac{2}{7} \), означавајући да су ове граничне тачке укључене у решење.

г) \( x : 0,46 < 10,003 \)

1. Одређивање непознатог дељеника
Непознати дељеник добијамо множењем:
\[ x < 10,003 \cdot 0,46 \]
Како бројеви морају бити већи или једнаки нули, имамо:
\[ 0 \le x < 10,003 \cdot 0,46 \]

2. Рачунање вредности
\[ 10,003 \cdot 0,46 = 4,60138 \]
\[ \begin{array}{r@{}l} 10,003 \cdot 0,46 & \\ \hline 60018 & \\ +\,40012\phantom{0} & \\ \hline 4,60138 & \end{array} \]
Скуп решења је:
\[ 0 \le x < 4,60138 \]

3. Графички приказ

Нацртај хоризонталну бројевну полуправу која почиње од нуле и простире се удесно, завршавајући стрелицом. На бројевној полуправи означи тачку 0. Означи тачку \( 4,60138 \) празним кружићем на бројевној полуправи, са ознаком \( 4,60138 \) испод ње. Представи скуп решења \( 0 \le x < 4,60138 \) помоћу дебеле плаве линије изнад бројевне полуправе. Линија решења треба да буде повезана са тачком 0 на бројевној полуправи правим углом, а са празним кружићем код тачке \( 4,60138 \) луком.

Кратак запис решења:

а)
\[ x > 2 \frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{17}{7} \cdot 2 = \frac{34}{7} = 4 \frac{6}{7} \]

б)
\[ x \ge 1 \frac{1}{4} \cdot \frac{10}{11} = \frac{5}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{10}^5}{11} = \frac{25}{22} = 1 \frac{3}{22} \]

в)
\[ 0 \le x \le \frac{2}{7} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7} \]

г)
\[ 0 \le x < 10,003 \cdot 0,46 = 4,60138 \]

Најважније из лекције

Приликом решавања неједначина са множењем и дељењем, кључно је запамтити понашање знака неједнакости:

Непознат чинилац (\( a \cdot x < b \)): Знак неједнакости остаје исти.
Непознат дељеник (\( x : a < b \)): Знак неједнакости остаје исти.
Непознат делилац (\( a : x < b \)): Знак неједнакости се мења у супротан (окреће се), а такође се мора узети у обзир услов да делилац мора бити већи од нуле (\( x > 0 \)).

Смањивањем чиниоца производ се смањује, а повећавањем чиниоца производ се повећава.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат чинилац знак неједнакости не мења.

Ако је \( a \cdot x < b \), онда је \( x < b : a \).
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))

\( 4 \cdot x \le 2,2 \)
\( x \le 2,2 : 4 \)
\( x \le 0,55 \)

Реши неједначину: \( x \cdot \frac{2}{3} > \frac{1}{5} \).

\( x > \frac{1}{5} : \frac{2}{3} \)
\( x > \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \)
Одговор: \( x > \frac{3}{10} \)

Смањивањем дељеника количник се смањује, а повећавањем дељеника количник се повећава.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат дељеник знак неједнакости не мења.

Ако је \( x : a < b \), онда је \( x < b \cdot a \).
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))

\( x : 3,7 \le 1,2 \)
\( x \le 1,2 \cdot 3,7 \)
\( x \le 4,44 \)

Реши неједначину: \( x : \frac{4}{9} > 1,5 \).

\( 1,5 = \frac{3}{2} \)
\( x > \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \)
\( x > \frac{12}{18} \)
Одговор: \( x > \frac{2}{3} \)

Нулом се не дели! Број 0 не може бити решење ових неједначина (услов је \( x \neq 0 \)). У скупу позитивних разломака важи услов \( x > 0 \).

Смањивањем делиоца количник се повећава, а повећавањем делиоца количник се смањује.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат делилац знак неједнакости мења (окреће се у супротан).

Ако је \( a : x < b \), онда је \( x > a : b \).
Ако је \( a : x \ge b \), онда је \( x \le a : b \).

\( 1,7 : x < 0,8 \)
\( x > 1,7 : 0,8 \) (Знак се окренуо!)
\( x > 2,125 \)

Реши неједначину: \( 0,93 : x > 1,2 \).

\( x < 0,93 : 1,2 \) (Знак се окренуо!)
\( x < 0,775 \)
Пошто делилац мора бити већи од нуле, коначно решење је:
Одговор: \( 0 < x < 0,775 \)

Код сложенијих израза, део који садржи непознату (производ или количник) прво се посматра као једна целина (нпр. непознати сабирак, умањеник или умањилац), а тек се у следећем кораку решава множење или дељење.

Израз \( 2 \cdot x \) посматрамо као непознати сабирак.

Израчунамо вредност тог сабирка.

Решавамо једноставну неједначину са непознатим чиниоцем.

\( 2 \cdot x + \frac{2}{3} > \frac{3}{4} \)
\( 2 \cdot x > \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \)
\( 2 \cdot x > \frac{9}{12} - \frac{8}{12} \)
\( 2 \cdot x > \frac{1}{12} \)
\( x > \frac{1}{12} : 2 \)
\( x > \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow x > \frac{1}{24} \)

Задаци за вежбање

Лак: Реши неједначину: \( 1 \frac{1}{4} \cdot x \ge 1 \frac{1}{5} \).

Непознат је чинилац, знак остаје исти.
\( x \ge 1 \frac{1}{5} : 1 \frac{1}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} : \frac{5}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5} \)
Одговор: \( x \ge \frac{24}{25} \)

Средњи: Реши неједначину: \( x : 0,78 < \frac{3}{4} \).

Непознат је дељеник, знак остаје исти.
\( \frac{3}{4} = 0,75 \)
\( x < 0,75 \cdot 0,78 \)
Одговор: \( x < 0,585 \)

Тежак: Реши неједначину и одреди скуп решења: \( \frac{5}{8} : x \ge 3 \frac{3}{4} \).

Непознат је делилац, знак се мења.
\( x \le \frac{5}{8} : 3 \frac{3}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} : \frac{15}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} \)
\( x \le \frac{1}{6} \)
Како делилац мора бити већи од нуле (\( x > 0 \)), потребно је додати тај услов.
Одговор: \( 0 < x \le \frac{1}{6} \)

IV.19. Неједначине

Изабери решење задатка:

а) \( x : 2 > 2 \frac{3}{7} \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

б) \( x : \frac{10}{11} \ge 1 \frac{1}{4} \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

в) \( x : 4,5 \le \frac{2}{7} \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

г) \( x : 0,46 < 10,003 \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

а) \( x : 2 > 2 \frac{3}{7} \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

б) \( x : \frac{10}{11} \ge 1 \frac{1}{4} \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

в) \( x : 4,5 \le \frac{2}{7} \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

г) \( x : 0,46 < 10,003 \)

1. Одређивање непознатог дељеника

2. Рачунање вредности

3. Графички приказ

Кратак запис решења:

а)

б)

в)

г)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: