IV.19. Неједначине

а) \( x \cdot 0,7 < 0,014 \)

1. Одређивање непознатог чиниоца

Непознати чинилац \( x \) израчунавамо дељењем производа познатим чиниоцем. При томе се знак неједнакости не мења: \[ x < 0,014 : 0,7 \]

2. Израчунавање количника

Дељеник и делилац множимо са \( 10 \) како би делилац био природан број: \[ 0,014 : 0,7 = 0,14 : 7 \] \[ 0,14 : 7 = 0,02 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 0,14 & {} : 7 = 0,02 \\ \underline{-0}\phantom{,14} & \\ 01\phantom{4} & \\ \underline{-0}\phantom{4} & \\ 14 & \\ \underline{-14} & \\ 0 & \end{array} \] Добијамо: \[ x < 0,02 \] Како у скупу позитивних бројева и нуле вредност мора бити већа од или једнака нули, скуп свих решења је: \[ 0 \le x < 0,02 \]

3. Графички приказ решења

Нацртати бројевну полуправу са почетком у тачки 0. Означити вредност 0,02. Изнад нуле ставити пун црни кружић, а изнад 0,02 празан бели кружић. Осенчити дуж између ове две тачке. ---

б) \( 1,1 \cdot x \ge 11,0011 \)

1. Одређивање непознатог чиниоца

Непознати чинилац \( x \) израчунавамо дељењем производа познатим чиниоцем, при чему знак неједнакости остаје исти: \[ x \ge 11,0011 : 1,1 \]

2. Израчунавање количника

Дељеник и делилац множимо са \( 10 \): \[ 11,0011 : 1,1 = 110,011 : 11 \] \[ 110,011 : 11 = 10,001 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 110,011 & {} : 11 = 10,001 \\ \underline{-11}\phantom{0,011} & \\ 00\phantom{,011} & \\ \underline{-0}\phantom{,011} & \\ 0\phantom{,011} & \\ 00\phantom{11} & \\ \underline{-0}\phantom{11} & \\ 01\phantom{1} & \\ \underline{-0}\phantom{1} & \\ 11 & \\ \underline{-11} & \\ 0 & \end{array} \] Дакле, скуп решења неједначине је: \[ x \ge 10,001 \]

3. Графички приказ решења

Нацртати бројевну полуправу и означити број 10,001. Изнад њега ставити пун црни кружић и осенчити део полуправе надесно са стрелицом. ---

в) \( \frac{8}{9} \cdot x > 10 \frac{4}{5} \)

1. Претварање мешовитог броја у неправилан разломак

\[ 10 \frac{4}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{54}{5} \] Неједначина гласи: \[ \frac{8}{9} \cdot x > \frac{54}{5} \]

2. Одређивање непознатог чиниоца

\[ x > \frac{54}{5} : \frac{8}{9} \] Дељење разломака замењујемо множењем реципрочном вредношћу: \[ x > \frac{54}{5} \cdot \frac{9}{8} \] Скраћујемо бројеве \( 54 \) и \( 8 \) са \( 2 \): \[ x > \frac{\cancel{54}^{27}}{5} \cdot \frac{9}{\cancel{8}_4} \] \[ x > \frac{27 \cdot 9}{5 \cdot 4} \] \[ 27 \cdot 9 = 243 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 27 \cdot 9 & \\ \hline 243 & \end{array} \] \[ x > \frac{243}{20} \] Претварамо неправилан разломак у мешовити број: \[ 243 : 20 = 12\text{ (остатак } 3) \implies x > 12 \frac{3}{20} \]

3. Графички приказ решења

Нацртати бројевну полуправу и означити \( 12 \frac{3}{20} \). Изнад тачке ставити празан бели кружић и осенчити део надесно. ---

г) \( x \cdot \frac{5}{6} \le 2,25 \)

1. Претварање децималног броја у разломак

\[ 2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{\cancel{25}^1}{\cancel{100}_4} = 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} \] Неједначина гласи: \[ x \cdot \frac{5}{6} \le \frac{9}{4} \]

2. Одређивање непознатог чиниоца

\[ x \le \frac{9}{4} : \frac{5}{6} \] Дељење преводимо у множење реципрочним разломком: \[ x \le \frac{9}{4} \cdot \frac{6}{5} \] Скраћујемо бројеве \( 6 \) и \( 4 \) са \( 2 \): \[ x \le \frac{9}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{6}^3}{5} \] \[ x \le \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 5} \] \[ x \le \frac{27}{10} = 2\frac{7}{10} = 2,7 \] Пошто решење мора бити ненегативно, скуп свих решења је: \[ 0 \le x \le 2,7 \]

3. Графички приказ решења

Нацртати бројевну полуправу од 0 до 2,7. Изнад обе тачке ставити пун црни кружић и осенчити дуж између њих.

а)

\[ x < 0,014 : 0,7 = 0,02 \implies 0 \le x < 0,02 \]

б)

\[ x \ge 11,0011 : 1,1 = 10,001 \]

в)

\[ x > \frac{54}{5} : \frac{8}{9} = \frac{\cancel{54}^{27}}{5} \cdot \frac{9}{\cancel{8}_4} = \frac{243}{20} = 12\frac{3}{20} \]

г)

\[ x \le \frac{9}{4} : \frac{5}{6} = \frac{9}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{6}^3}{5} = \frac{27}{10} = 2,7 \implies 0 \le x \le 2,7 \]