Нацртај дуж $ AB $ и подели је на четири једнака дела.

Корак 1: Конструкција симетрале дужи $ AB $ Прво, нацртај једну дуж и означи њене крајеве са $ A $ и $ B $. Да бисмо дуж поделили на два једнака дела, потребно је да конструишемо њену симетралу. Узми шестар и отвори га тако да полупречник буде већи од половине дужи $ AB $. Постави иглу шестара у тачку $ A $ и опиши кружне лукове изнад и испод дужи. Затим, не мењајући отвор шестара, постави иглу у тачку $ B $ и пресеци претходно нацртане лукове. Кроз пресечне тачке лукова повуци прав...

Гусари су нашли мапу острва на коме је закопано благо. Сазнали су да је благо закопано на месту које је једнако удаљено од три палме. 1) Како могу да одреде место на коме је закопано благо? 2) У свесци палме представи трима неколинеарним тачкама и конструиши тачку која одговара месту на коме је зако...

1) Како могу да одреде место на коме је закопано благо? Корак 1: Разумевање својства симетрале дужи Из дефиниције симетрале дужи знамо да је свака тачка која припада симетрали дужи $ AB $ једнако удаљена од њених крајњих тачака $ A $ и $ B $. Ако место благо обележимо тачком $ O $, а палме тачкама $ A, B $ и $ C $, услов задатка је да важи $ OA = OB = OC $. Корак 2: Примена на три тачке Да би тачка $ O $ била једнако удаљена од палми $ A $ и $ B $, она мора лежати на симетр...

На слици десно приказан је део мапе града. 1) Где у Улици симетрала треба поставити аутобуско стајалиште тако да оно буде једнако удаљено и од болнице и од поште? 2) У свесци, болницу и пошту представи тачкама $ B $ и $ P $, а улицу правом $ u $. Конструиши тачку која одговара месту аутобуског...

Анализа захтева задатка Задатак тражи да нађемо локацију аутобуског стајалишта које мора да испуни два услова: 1. Да се налази у Улици симетрала (коју ћемо представити правом $ u $). 2. Да буде једнако удаљено од болнице (тачка $ B $) и поште (тачка $ P $). Кључно геометријско својство које користимо је да је свака тачка која је једнако удаљена од две фиксне тачке $ B $ и $ P $ заправо тачка која припада симетрали дужи $ BP $. Дакле, стајалиште ће се налазити у пресеку те симетрале и...

Нацртај кружницу $ k(O, 3\text{ cm}) $ и на њој изабери једну тачку $ T $. Конструиши тангенту на кружницу $ k(O, 3\text{ cm}) $ у тачки $ T $. Напомена. При конструкцијама је дозвољена употреба само обичног лењира и шестара.

Корак 1: Цртање задате кружнице и избор тачке Прво ћемо означити тачку $ O $ која ће бити центар наше кружнице. Затим ћемо помоћу лењира отворити шестар тако да му полупречник буде тачно $ 3\text{ cm} $. Са иглом шестара у тачки $ O $, нацртаћемо кружницу $ k(O, 3\text{ cm}) $. На самој линији кружнице ћемо изабрати једну произвољну тачку и обележити је словом $ T $. Корак 2: Цртање праве кроз центар и тачку на кружници Тангента на кружницу у датој тачки увек је нормална на полупречни...

Нацртај праву $ p $ и тачку $ A $ која јој не припада. Конструиши кружницу са центром у тачки $ A $ тако да права $ p $ буде њена тангента.

Анализа задатка Да би права $ p $ била тангента кружнице са центром у тачки $ A $, она мора имати тачно једну заједничку тачку са том кружницом. Та заједничка тачка $ T $ назива се тачка додира. Према особинама тангенте, она је увек нормална на полупречник кружнице који садржи тачку додира. То значи да је растојање од центра $ A $ до праве $ p $ управо једнако полупречнику кружнице $ r $, а тачка додира $ T $ представља подножје нормале повучене из тачке $ A $ на праву $ p $....

Конструиши (шестаром и обичним лењиром) квадрат странице $ 3\text{ cm} $.

Корак 1: Конструкција темеља и нормалних правих За почетак, конструишемо две међусобно нормалне праве које ће садржати странице квадрата. Обичним лењиром нацртамо праву $ p $ и на њој означимо тачку $ A $, која ће бити прво теме квадрата. Потребно је конструисати нормалу на праву $ p $ у тачки $ A $ користећи искључиво шестар. Опишемо кружни лук произвољног полупречника са центром у $ A $ који сече праву $ p $ у двема тачкама. Из тих двеју тачака, шестаром са нешто већим полупречник...

Конструиши правоугаоник страница $ 3\text{ cm} $ и $ 5\text{ cm} $.

Корак 1: Конструкција две нормалне праве Прво лењиром нацртамо праву $ p $ и на њој обележимо тачку која ће бити теме $ A $. Користећи шестар и лењир, конструишемо нормалу на праву $ p $ у тачки $ A $: Опишемо кружни лук из тачке $ A $ који сече праву $ p $ у двема тачкама. Из те две тачке опишемо лукове већег полупречника који се секу у тачки изнад праве. Спојимо ту тачку са тачком $ A $ да добијемо праву $ q $ нормалну на $ p $. Корак 2: Преношење дужина страница Користећи...

Нацртај праву $ p $ и тачку $ A $ која не припада $ p $. Конструиши квадрат $ ABCD $ тако да: 1) страница $ BC $ буде на правој $ p $; 2) дијагонала $ BD $ буде на правој $ p $.

Овај задатак захтева примену основних геометријских конструкција шестаром и лењиром, као што су конструкција нормале и преношење дужи, како бисмо нацртали квадрат у специфичним положајима у односу на дату праву. 1) Страница $ BC $ је на правој $ p $ 1. Nacrtaj horizontalnu pravu $ p $ i tačku $ A $ postavljenu iznad nje. 2. Konstruiši tačku $ A' $ koja je osnosimetrična tački $ A $ u odnosu na pravu $ p $. Tačka $ A' $ treba biti postavljena ispod prave $ p $, na istoj vertika...

Тачка која је симетрична задатој тачки у односу на дату осу $ s $ може се конструисати и само шестаром. Конструкција је приказана на наредној слици. Опиши и објасни ову конструкцију.

Опис конструкције тачке $ P_1 $ искључиво шестаром Да бисмо конструисали тачку $ P_1 $ симетричну тачки $ P $ у односу на осу $ s $ користећи само шестар, пратимо следеће кораке приказане на слици: 1. Изаберемо произвољну тачку $ M $ на оси симетрије $ s $. Опишемо кружни лук са центром у тачки $ M $ и полупречником $ MP $. Овај лук пролази кроз тачку $ P $ и сече осу $ s $ (ово радимо да бисмо осигурали растојање). 2. Изаберемо другу произвољну тачку $ N $ на оси $ s $,...

Симетрала дужи

Изабери решење задатка:

Нацртамо три неколинеарне тачке \( A \), \( B \) и \( C \).


1) Конструкција праве
Да би права била једнако удаљена од тачака \( A \), \( B \) и \( C \), конструишемо праву која пролази кроз средишта две дужи које ове тачке одређују.
- Конструишемо симетралу \( s_{AB} \) и одредимо средиште \( M_{AB} = s_{AB} \cap AB \).
- Конструишемо симетралу \( s_{AC} \) и одредимо средиште \( M_{AC} = s_{AC} \cap AC \).
- Права \( p_1 \) која садржи тачке \( M_{AB} \) и \( M_{AC} \) је тражена права.


2) Преостале праве
Поред праве \( p_1 \), можемо конструисати праве кроз преостале парове средишта дужи:
- Права \( p_2 \) кроз средишта \( M_{AB} \) и \( M_{BC} \).
- Права \( p_3 \) кроз средишта \( M_{BC} \) и \( M_{AC} \).
Осим прве конструисане, постоје још две такве праве, што значи да их укупно има 3.

Цртање почетних тачака
На почетку ћемо нацртати три тачке \( A \), \( B \) и \( C \) које не припадају истој правој. 

1. Нацртај три неколинеарне тачке A, B и C у равни, формирајући троугао ABC.
2. Повежи тачке B и C дужи BC. Означи средину дужи BC са M. Конструиши симетралу \( s_{BC} \) дужи BC тако да пролази кроз тачку M и нормална је на BC. Прикажи прави угао на тачки M.
3. Означи средину дужи AB са \( M_{AB} \) и средину дужи AC са \( M_{AC} \).
4. Конструиши праву p која пролази кроз тачке \( M_{AB} \) и \( M_{AC} \). Права p је средња линија троугла ABC, паралелна са дужи BC. Означи пресечну тачку симетрале \( s_{BC} \) и праве p као N.
5. Прикажи да су тачке A, B и C подједнако удаљене од праве p. Нацртај нормале из тачака A, B и C до праве p. Означи подножја нормала на правој p као \( A' \), \( B' \) и \( C' \) респективно. Означи дужине ових нормала (\( AA' \), \( BB' \), \( CC' \)) са 'd' да би се истакла њихова једнака дужина. Прикажи праве углове на подножјима \( A' \), \( B' \) и \( C' \).

1) Конструкција праве једнако удаљене од тачака \( A \), \( B \) и \( C \)
Права ће бити једнако удаљена од три неколинеарне тачке ако пролази тачно на средини између њих. Ово постижемо тако што пронађемо средишта дужи које спајају ове тачке. На слици из задатка приказана је конструкција праве која пролази кроз средишта дужи \( AB \) и \( AC \).
Кораци конструкције:
- Проналажење средишта дужи \( AB \): Конструишемо симетралу дужи \( AB \) (означимо је са \( s_{AB} \)) тако што шестаром опишемо лукове из тачака \( A \) и \( B \) истим полупречником. Права која спаја пресеке лукова је симетрала. Тачка пресека симетрале и дужи \( AB \) је њено средиште, означићемо га са \( M_{AB} \) (на слици означено словом \( N \)).
- Проналажење средишта дужи \( AC \): Поновимо исти поступак за тачке \( A \) и \( C \) конструкцијом симетрале \( s_{AC} \). Тачка пресека ове симетрале и дужи \( AC \) је њено средиште \( M_{AC} \).
- Цртање праве: Повучемо праву кроз добијена средишта \( M_{AB} \) и \( M_{AC} \). Ова права је паралелна са правом која пролази кроз тачке \( B \) и \( C \) и једнако је удаљена од све три почетне тачке.

Нацртај средишта све три странице троугла ABC. Кроз свака два средишта повуци по једну праву. Добићеш укупно три праве које су паралелне страницама троугла.

2) Одређивање броја таквих правих
У првом делу смо конструисали праву која пролази кроз средишта дужи \( AB \) и \( AC \). Пошто имамо три тачке, постоје три дужи које их одређују (\( AB \), \( BC \) и \( AC \)). На исти начин можемо конструисати и праве које пролазе кроз остале парове средишта ових дужи:
- Права која пролази кроз средиште \( M_{AB} \) и средиште \( M_{BC} \).
- Права која пролази кроз средиште \( M_{BC} \) и средиште \( M_{AC} \).
Свака од ових правих пролази тачно између једне тачке и праве која спаја друге две тачке, што значи да су растојања свих тачака од те праве једнака.
Дакле, осим прве конструисане праве, постоје још две такве праве. Укупно их има 3.

Кратак запис решења:

Нацртамо тачке \( A, B, C \). Права једнако удаљена од њих пролази кроз средишта дужи које их спајају.
1) Конструишемо средишта \( M_{AB} \) и \( M_{AC} \) помоћу симетрала \( s_{AB} \) и \( s_{AC} \). Права \( p_1 \) која садржи \( M_{AB} \) и \( M_{AC} \) је решење.
2) Да, постоје још две такве праве које пролазе кроз преостале парове средишта (\( p_2 \) кроз \( M_{AB}, M_{BC} \) и \( p_3 \) кроз \( M_{BC}, M_{AC} \)). Укупно има 3 такве праве.

Најважније из лекције

Осна симетрија: Пресликавање где је тачка и њена слика подједнако удаљена од осе симетрије, а права која их спаја је нормална на ту осу. Ова трансформација чува дужине и углове.
Осносиметричне фигуре: Фигуре које се могу преклопити преко једне праве (осе) тако да им се половине поклопе (нпр. квадрат има 4 осе, кружница бесконачно много).
Симетрала дужи: Права која полови дуж под правим углом. Свака тачка на симетрали једнако је удаљена од крајева дужи. Ова особина је основа за конструисање нормала, паралелних правих и одређивање центра кружнице.

Осна симетрија је пресликавање тачака равни у односу на једну праву коју називамо оса симетрије (обично се обележава са $ s $).

Тачка $ A_1 $ је осносиметрична тачки $ A $ у односу на праву $ s $ ако:

$ A_1 $ припада нормали из $ A $ на праву $ s $;
$ A $ и $ A_1 $ се налазе са различитих страна праве $ s $;
$ A $ и $ A_1 $ су једнако удаљене од праве $ s $.

Свака тачка која се налази на самој оси симетрије $ s $ пресликава се у саму себе.

Приказ праве s (оса симетрије) и две тачке A и A1 које су симетричне у односу на њу. Испрекиданом линијом је приказана нормала која спаја ове две тачке и сече осу под правим углом, уз ознаку да су растојања од осе до обе тачке једнака.

Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да чува растојање између тачака (дуж се пресликава у једнаку дуж). Такође чува распоред колинеарних тачака и углове (угао се пресликава у једнак угао).

Слика праве при осној симетрији је такође права. Зависно од њеног положаја према оси $ s $:

Ако права сече осу симетрије, њена слика такође пролази кроз ту тачку пресека.
Ако је права паралелна оси симетрије, њена слика је такође паралелна оси.
Ако је права нормална на осу симетрије, она се пресликава у саму себе.

Да бисмо конструисали слику дужи, пресликавамо само њене крајње тачке. Да бисмо пресликали троугао, пресликавамо његова темена. Да бисмо пресликали кружницу, пресликавамо њен центар, док полупречник остаје исти.

Фигура је осносиметрична ако постоји бар једна права (оса симетрије фигуре) по којој се фигура може "пресавити" тако да се њена два дела потпуно поклопе.

Број оса симетрије код неких познатих фигура:

Паралелограм: 0 оса симетрије.
Правоугаоник (који није квадрат): 2 осе симетрије.
Квадрат: 4 осе симетрије.
Кружница: бесконачно много оса симетрије (свака права која пролази кроз центар).

Симетрала дужи $ AB $ (ознака $ s_{AB} $) је права која садржи средиште те дужи и нормална је на њу.

Ознака: $ s_{AB} $ чита се као "симетрала дужи AB".

Кључна особина: Свака тачка на симетрали дужи једнако је удаљена од крајева те дужи (Ако $ X \in s_{AB} $, онда је $ XA = XB $). Важи и обрнуто: ако је тачка једнако удаљена од крајева дужи, она припада њеној симетрали.

$Дуж AB и њена симетрала s_{AB} која пролази кроз средиште под правим углом. На симетрали је означена тачка X изнад дужи. Дужи XA и XB су повучене и означене као једнаке.$

Да бисмо конструисали симетралу дужи $ AB $, шестаром описујемо два кружна лука истог полупречника (већег од половине дужи) из тачака $ A $ и $ B $. Права која пролази кроз њихове пресечне тачке је симетрала.

Помоћу лењира и шестара можемо извршити следеће конструкције користећи особине симетрале:

Нормала из тачке на праву: Из тачке $ P $ конструишемо кружницу која сече праву $ p $ у две тачке. Затим конструишемо симетралу дужи чији су крајеви те пресечне тачке. Та симетрала је тражена нормала.

Центар кружнице: Центар се налази у пресеку симетрала било које две тетиве те кружнице.

Паралелна права: Кроз тачку $ P $ прво конструишемо нормалу $ n $ на дату праву $ p $, а затим у тачки $ P $ конструишемо нормалу $ a $ на праву $ n $. Добијена права $ a $ је паралелна са $ p $.

Задаци за вежбање

Лак: Колико оса симетрије има дуж, а колико кружница?

Одговор: Дуж има две осе симетрије (права на којој се налази и њена симетрала). Кружница има бесконачно много оса симетрије (свака права која пролази кроз њен центар).

Средњи: Дата је дуж $ PQ $. Тачка $ M $ припада симетрали $ s_{PQ} $. Ако је растојање од тачке $ M $ до тачке $ P $ једнако $ 7 \text{ cm} $, колико износи растојање од тачке $ M $ до тачке $ Q $?

На основу особине симетрале дужи, свака тачка на њој је једнако удаљена од крајева те дужи. Дакле, $ MP = MQ $.
Одговор: Растојање од тачке $ M $ до тачке $ Q $ је такође $ 7 \text{ cm} $.

Средњи: Нека је права $ a $ нормална на осу симетрије $ s $. У шта се пресликава права $ a $ при осној симетрији у односу на праву $ s $?

Одговор: Права која је нормална на осу симетрије пресликава се сама у себе.

Тежак: Објасните како се лењиром и шестаром конструише права $ a $ која пролази кроз тачку $ P $ и паралелна је правој $ p $ (која не садржи $ P $).

Одговор: Конструкција се своди на цртање две нормале. Прво се конструише права $ n $ која пролази кроз $ P $ и нормална је на праву $ p $. Затим се конструише права $ a $ која пролази кроз $ P $ и нормална је на праву $ n $. Како су $ p $ и $ a $ нормалне на исту праву $ n $, оне су међусобно паралелне.

V.3. Симетрала дужи

Изабери решење задатка:

1) Конструкција праве

2) Преостале праве

Цртање почетних тачака

1) Конструкција праве једнако удаљене од тачака \( A \), \( B \) и \( C \)

2) Одређивање броја таквих правих

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

1) Конструкција праве

2) Преостале праве

Детаљно решење

Цртање почетних тачака

1) Конструкција праве једнако удаљене од тачака \( A \), \( B \) и \( C \)

2) Одређивање броја таквих правих

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: