V.3. Симетрала дужи

Овај задатак захтева примену основних геометријских конструкција шестаром и лењиром, као што су конструкција нормале и преношење дужи, како бисмо нацртали квадрат у специфичним положајима у односу на дату праву.

1) Страница \( BC \) је на правој \( p \)

1. Nacrtaj horizontalnu pravu \( p \) i tačku \( A \) postavljenu iznad nje. 2. Konstruiši tačku \( A' \) koja je osnosimetrična tački \( A \) u odnosu na pravu \( p \). Tačka \( A' \) treba biti postavljena ispod prave \( p \), na istoj vertikalnoj liniji kao \( A \), tako da je rastojanje od \( A' \) do \( p \) jednako rastojanju od \( A \) do \( p \). 3. Nacrtaj isprekidanu duž \( AA' \) koja seče pravu \( p \) u tački. Obeleži tu tačku preseka sa \( O \). Indikuj prav ugao između duži \( AA' \) i prave \( p \) u tački \( O \). 4. Obeleži tačku \( O \) dodatno kao teme \( B \). Stoga, \( B \) je koincidentno sa \( O \). 5. Ovu tačku \( O \) (koja je ujedno i \( B \)) smatramo presekom dijagonala kvadrata. S obzirom na to da su dijagonale kvadrata normalne i jednake, i seku se u tački \( O \), te da je \( A \) jedno teme, pretpostavlja se da \( C \) leži na pravoj \( p \). 6. Konstruiši normalu na pravu \( p \) koja prolazi kroz tačku \( A \). Ta tačka preseka normale i prave \( p \) obeležava se kao teme \( D \). Geometrijski, ovo znači da je tačka \( D \) koincidentna sa tačkom \( O \) (i \( B \)). Stoga, \( B=D=O \). 7. Prenesi duž \( OD \) (koja je dužina nula s obzirom na \( D=O \)) na drugu stranu tačke \( O \) (duž prave \( p \)) da bi se dobila tačka \( C \). Da bi ovaj korak bio smislen za crtanje, stvoriti dve tačke \( C \) i \( D \) na pravoj \( p \), simetrično postavljene u odnosu na \( O \), tako da \( OD = OC \). Tada bi \( C \) bilo teme kvadrata, a \( D \) bi takođe bilo teme, dok bi \( B \) ostalo u \( O \). Ovo omogućava vizualizaciju sukobljenih uslova problema. (Note: The last step attempts to resolve the inherent geometric contradiction in the original step 7 by creating distinct points C and D, as a drawing cannot represent a zero-length segment transfer. This reflects the "impossible" nature highlighted in the problem's solution text.)

Корак 1: Конструкција темена \( B \)

Пошто теме \( A \) припада квадрату, а страница \( BC \) лежи на правој \( p \), страница \( AB \) мора бити нормална на праву \( p \). - Конструишемо кружни лук са центром у \( A \) који сече праву \( p \) у две тачке. - Из тих тачака конструишемо два лука истог полупречника који се секу испод праве. - Права која спаја \( A \) и ту нову тачку је нормала. Пресек нормале и праве \( p \) је теме \( B \). Дуж \( AB \) је страница квадрата \( a \).

Корак 2: Конструкција темена \( C \) и \( D \)

- Шестаром измеримо дужину \( AB \). Из тачке \( B \) на правој \( p \) означимо тачку \( C \) тако да је \( BC = AB \). - У тачки \( C \) конструишемо нормалу на праву \( p \) (паралелно са \( AB \)). - Из тачке \( C \) на тој нормали пренесемо растојање \( AB \) и добијемо теме \( D \). - Повезивањем \( A, B, C, D \) добијамо квадрат.

2) Дијагонала \( BD \) је на правој \( p \)

Нацртај праву \( p \) и тачку \( A \) ван ње. Из тачке \( A \) спусти нормалу на праву \( p \). Пресек означи са \( S \). Продужи дуж \( AS \) преко тачке \( S \) и нанеси исту дужину \( AS \) да добијеш тачку \( C \). Из тачке \( S \) на правој \( p \), нанеси дужину \( AS \) лево и десно да добијеш тачке \( B \) и \( D \). Повежи \( A, B, C, D \).

Корак 1: Конструкција центра \( S \) и темена \( C \)

Код квадрата се дијагонале секу под правим углом, па је \( AC \perp BD \). Пошто је \( BD \) на правој \( p \), дијагонала \( AC \) мора бити на нормали из \( A \). - Конструишемо нормалу из тачке \( A \) на праву \( p \). Пресечну тачку означавамо са \( S \). То је центар квадрата. - На истој нормали, са друге стране праве \( p \), пренесемо растојање \( AS = SC \) како бисмо добили теме \( C \).

Корак 2: Конструкција темена \( B \) и \( D \)

Дијагонале квадрата су једнаке и полове се (\( AS = SC = BS = SD \)). - Шестаром измеримо дуж \( AS \). - Из тачке \( S \), дуж праве \( p \), пренесемо ту дужину на обе стране. Пресечне тачке са правом \( p \) су темена \( B \) и \( D \). - Спајањем тачака \( A, B, C, D \) добијамо тражени квадрат.

1) \( AB \perp p \Rightarrow B = \text{подножје нормале из } A \text{ на } p \). \( BC = AB \) на \( p \). \( CD \perp p, CD = AB \). Повежи \( ABCD \). 2) \( AC \perp p \Rightarrow S = \text{подножје нормале из } A \text{ на } p \). \( SC = AS \) на нормали. \( SB = SD = AS \) на \( p \). Повежи \( ABCD \).