Нацртај дуж $ AB $ и подели је на четири једнака дела.

Корак 1: Цртање дужи и одређивање плана дељења 1. Нацртати хоризонталну дуж $ AB $. 2. Означити средиште дужи $ AB $ као тачку $ S $. 3. Приказати симетралу дужи $ AB $, означену са $ s_{AB} $, као вертикалну праву која пролази кроз тачку $ S $. 4. Означити средиште дужи $ AS $ као тачку $ M $, а средиште дужи $ SB $ као тачку $ N $. 5. Приказати симетралу дужи $ AS $, означену са $ s_{AS} $, која пролази кроз тачку $ M $, и симетралу дужи $ SB $, означену са \( s_{SB...

На слици десно приказан је део мапе града. 1) Где у Улици симетрала треба поставити аутобуско стајалиште тако да оно буде једнако удаљено и од болнице и од поште? 2) У свесци, болницу и пошту представи тачкама $ B $ и $ P $, а улицу правом $ u $. Конструиши тачку која одговара месту аутобуског...

1) Одређивање положаја аутобуског стајалишта Све тачке у равни које су једнако удаљене од две дате тачке (болнице $ B $ и поште $ P $) налазе се на симетрали дужи $ BP $. Како аутобуско стајалиште мора бити у Улици симетрала и истовремено једнако удаљено и од болнице и од поште, потребно је поставити га на месту где се Улица симетрала сече са симетралом дужи $ BP $. 2) Конструкција тражене тачке у свесци Нацртај хоризонталну праву `u` у доњем делу папира. Изнад праве `u`, нацртај две р...

Нацртај кружницу $ k(O, 3\text{ cm}) $ и на њој изабери једну тачку $ T $. Конструиши тангенту на кружницу $ k(O, 3\text{ cm}) $ у тачки $ T $. Напомена. При конструкцијама је дозвољена употреба само обичног лењира и шестара.

Тангента на кружницу је права која са кружницом има тачно једну заједничку тачку (додирну тачку) и нормална је на полупречник кружнице у тој тачки. 1. Нацртати тачку O у координатном почетку (0,0). Око тачке O нацртати кружницу k полупречника 3 cm. 2. Изабрати тачку T на кружници k, приближно у првом квадранту. 3. Повући полуправу OT, која почиње у O и пролази кроз T. 4. Приказати све кораке конструкције нормале на праву OT у тачки T користећи шестар: * Нацртати кружни лук са центром у та...

Нацртај праву $ p $ и тачку $ A $ која јој не припада. Конструиши кружницу са центром у тачки $ A $ тако да права $ p $ буде њена тангента.

Анализа задатка Права $ p $ је тангента кружнице ако има тачно једну заједничку тачку са њом, што значи да је права $ p $ нормална на полупречник кружнице у тој тачки (тачки додира). Према томе, полупречник тражене кружнице једнак је растојању тачке $ A $ од праве $ p $. Задатак се своди на конструкцију нормале из дате тачке $ A $ на дату праву $ p $. 1. Нацртај праву $ p $ и означи тачку $ A $ ван ње. 2. Са центром у тачки $ A $, кружним луком пресеци праву $ p $ у двема та...

Конструиши (шестаром и обичним лењиром) квадрат странице $ 3\text{ cm} $.

Кораци конструкције квадрата 1. Нацртај хоризонталну праву $ p $ и на њој обележи тачку $ A $ која ће бити једно теме квадрата. 2. Конструиши другу праву која је нормална на праву $ p $ и пролази кроз тачку $ A $. Ова конструкција дефинише прав угао (90 степени) у тачки $ A $, што ће бити унутрашњи угао квадрата. 3. Користећи шестар отвора $ 3\text{ cm} $, постави иглу шестара у тачку $ A $. Обележи тачку $ B $ на правој $ p $ (десно од $ A $) и тачку $ D $ на нормалној пр...

Конструиши правоугаоник страница $ 3\text{ cm} $ и $ 5\text{ cm} $.

Кораци конструкције правоугаоника Правоугаоник $ ABCD $ има странице дужина $ a = 5\text{ cm} $ и $ b = 3\text{ cm} $, а сви његови унутрашњи углови су прави ($ 90^\circ $). Наспрамне странице су једнаке: $ AB = CD = 5\text{ cm} $ и $ BC = AD = 3\text{ cm} $. Цртеж треба да приказује правоугаоник $ ABCD $. Тачка $ A $ треба да буде постављена у доњем левом углу. Страница $ AB $ треба да иде хоризонтално удесно од $ A $ и да буде дужине $ 5\text{ cm} $. Тачка $ B $ је на...

Нацртај праву $ p $ и тачку $ A $ која не припада $ p $. Конструиши квадрат $ ABCD $ тако да: 1) страница $ BC $ буде на правој $ p $; 2) дијагонала $ BD $ буде на правој $ p $.

1) Страница $ BC $ квадрата $ ABCD $ припада правој $ p $ Корак 1: Анализа захтева У квадрату $ ABCD $, угао код темена $ B $ је прав ($ AB \perp BC $). Како теме $ B $ припада страници $ BC $, а цела страница $ BC $ лежи на правој $ p $, дуж $ AB $ мора бити нормална на праву $ p $. Због тога је тачка $ B $ подножје нормале спуштене из тачке $ A $ на праву $ p $, а дужина странице квадрата једнака је $ AB $. 1. Нацртај праву $ p $ и тачку $ A $ ван ње. 2. К...

Тачка која је симетрична задатој тачки у односу на дату осу $ s $ може се конструисати и само шестаром. Конструкција је приказана на наредној слици. Опиши и објасни ову конструкцију.

Опис конструкције Оса симетрије s и дата тачка P са једне стране осе. На оси s означене су две произвољне тачке A и B (на пресецима првог лука са осом). Из тачака A и B нацртани су кружни лукови полупречницима AP и BP са друге стране осе s, чији је пресек тачка P1. Конструкција симетричне тачке $ P_1 $ тачки $ P $ у односу на праву $ s $ само помоћу шестара изводи се у следећим корацима: 1. Поставимо иглу шестара у дату тачку $ P $ и отвором шестара који је већи од растојања тачке \( P \...

Нацртај три неколинеарне тачке $ A $, $ B $ и $ C $. 1) Пажљиво погледај слику десно, па конструиши праву тако да растојања тачака $ A $, $ B $, $ C $ од те праве буду међусобно једнака. 2) Да ли, осим конструисане праве, постоји још нека права таква да су растојања тачака $ A $, \( B...

1) 1. Нацртај три неколинеарне тачке A, B и C у равни, формирајући троугао ABC. 2. Повежи тачке B и C дужи BC. Означи средину дужи BC са M. Конструиши симетралу $ s_{BC} $ дужи BC тако да пролази кроз тачку M и нормална је на BC. Прикажи прави угао на тачки M. 3. Означи средину дужи AB са $ M_{AB} $ и средину дужи AC са $ M_{AC} $. 4. Конструиши праву p која пролази кроз тачке $ M_{AB} $ и $ M_{AC} $. Права p је средња линија троугла ABC, паралелна са дужи BC. Означи пресечну тачку сим...

Симетрала дужи

Изабери решење задатка:

1)Нека су палме представљене тачкама \( A \), \( B \) и \( C \), а место блага тачком \( T \).\[ TA = TB \implies T \in s_{AB} \]\[ TB = TC \implies T \in s_{BC} \]\[ T = s_{AB} \cap s_{BC} \]Благо се налази у пресеку симетрала дужи одређених палмама.
2)
\( A, B, C \) – неколинеарне тачке
Дужи \( AB \) и \( BC \)
Симетрала \( s_{AB} \): \( k(A, r) \cap k(B, r) \), \( r > \frac{AB}{2} \)
Симетрала \( s_{BC} \): \( k(B, r') \cap k(C, r') \), \( r' > \frac{BC}{2} \)
\( T = s_{AB} \cap s_{BC} \)

1)
Корак 1: Разматрање услова једнаке удаљености
Тачке на острву које представљају палме означимо са \( A \), \( B \) и \( C \).
Тражимо тачку \( T \) која је подједнако удаљена од све три палме:
\[ TA = TB = TC \]
Скуп свих тачака које су једнако удаљене од тачака \( A \) и \( B \) чини симетрала дужи \( AB \), односно \( s_{AB} \).
Дакле, из услова \( TA = TB \) следи да тачка \( T \) припада симетрали \( s_{AB} \).

Корак 2: Одређивање положаја блага
Слично, из услова \( TB = TC \) следи да тачка \( T \) мора припадати и симетрали дужи \( BC \), означеној са \( s_{BC} \).
Пошто се тачка \( T \) налази на обе симетрале, она представља пресек симетрала \( s_{AB} \) и \( s_{BC} \):
\[ T = s_{AB} \cap s_{BC} \]
Гусари могу да одреде место на коме је закопано благо тако што ће конструисати симетрале дужи које спајају било која два пара палми (на пример, између прве и друге, и између друге и треће палме). Место у коме се те две симетрале секу представља тачку у којој је закопано благо.

2)
Корак 1: План и приказ конструкције

1.  Нацртај три неколинеарне тачке \( A \), \( B \) и \( C \) које представљају палме и формирају троугао. Повежи тачке дужима \( AB \), \( BC \) и \( CA \).
2.  Конструиши симетралу \( s_{AB} \) дужи \( AB \):
    *   Шестаром, из тачке \( A \) и из тачке \( B \), нацртај два кружна лука истог полупречника \( r \) (већег од половине дужине \( AB \)). Ови кружни лукови се секу у двема тачкама, означеним као \( I_1 \) и \( I_2 \). (Ови конструктивни лукови и тачке \( I_1 \), \( I_2 \) могу бити приказани светлом или испрекиданом линијом).
    *   Повуци праву кроз тачке \( I_1 \) и \( I_2 \). Ова права је симетрала \( s_{AB} \) дужи \( AB \). Означи тачку пресека \( s_{AB} \) са дужи \( AB \) као \( M_{AB} \). Прикажи да је \( s_{AB} \) нормална на \( AB \) у тачки \( M_{AB} \) (тј. \(\angle AM_{AB}s_{AB} = 90^\circ\)).
3.  Конструиши симетралу \( s_{BC} \) дужи \( BC \):
    *   Шестаром, из тачке \( B \) и из тачке \( C \), нацртај два кружна лука истог полупречника \( r' \) (већег од половине дужине \( BC \)). Ови кружни лукови се секу у двема тачкама, означеним као \( J_1 \) и \( J_2 \). (Ови конструктивни лукови и тачке \( J_1 \), \( J_2 \) могу бити приказани светлом или испрекиданом линијом).
    *   Повуци праву кроз тачке \( J_1 \) и \( J_2 \). Ова права је симетрала \( s_{BC} \) дужи \( BC \). Означи тачку пресека \( s_{BC} \) са дужи \( BC \) као \( M_{BC} \). Прикажи да је \( s_{BC} \) нормална на \( BC \) у тачки \( M_{BC} \) (тј. \(\angle BM_{BC}s_{BC} = 90^\circ\)).
4.  Означи тачку пресека права \( s_{AB} \) и \( s_{BC} \) са \( T \). Тачка \( T \) је место где је закопано благо. Прикажи да је тачка \( T \) једнако удаљена од тачака \( A \), \( B \) и \( C \) тако што ћеш нацртати испрекидане дужи \( TA \), \( TB \) и \( TC \) исте дужине. Тачка \( T \) је центар описаног круга троугла \( ABC \).

Корак 2: Опис корака конструкције
1. Означимо у свесци три неколинеарне тачке \( A \), \( B \) и \( C \) које представљају палме, и лењиром спојимо дужи \( AB \) и \( BC \).
2. Конструишемо симетралу \( s_{AB} \) дужи \( AB \):
- Иглицу шестара убодемо у тачку \( A \) и отвором шестара већим од половине дужи \( AB \) опишемо кружне лукове с обе стране дужи.
- Истим отвором шестара опишемо кружне лукове из тачке \( B \) тако да пресеку претходне лукове у две тачке.
- Лењиром повучемо праву кроз та два пресека. Та права је симетрала \( s_{AB} \).
3. На исти начин конструишемо симетралу \( s_{BC} \) дужи \( BC \):
- Иглицом шестара из тачака \( B \) и \( C \) истим отвором шестара (већим од половине дужи \( BC \)) опишемо лукове који се секу у две тачке.
- Лењиром повучемо праву кроз те пресечне тачке, што представља симетралу \( s_{BC} \).
4. Означимо пресечну тачку симетрала \( s_{AB} \) и \( s_{BC} \) словом \( T \).
Тачка \( T \) је тачка у којој је закопано благо.

Кратак запис решења:

1)
\[ TA = TB = TC \implies T = s_{AB} \cap s_{BC} \]
Благо се налази у пресеку симетрала дужи између палми.

2)

\[ T = s_{AB} \cap s_{BC} \]

Најважније из лекције

Осна симетрија: Пресликавање где је тачка и њена слика подједнако удаљена од осе симетрије, а права која их спаја је нормална на ту осу. Ова трансформација чува дужине и углове.
Осносиметричне фигуре: Фигуре које се могу преклопити преко једне праве (осе) тако да им се половине поклопе (нпр. квадрат има 4 осе, кружница бесконачно много).
Симетрала дужи: Права која полови дуж под правим углом. Свака тачка на симетрали једнако је удаљена од крајева дужи. Ова особина је основа за конструисање нормала, паралелних правих и одређивање центра кружнице.

Осна симетрија је пресликавање тачака равни у односу на једну праву коју називамо оса симетрије (обично се обележава са $ s $).

Тачка $ A_1 $ је осносиметрична тачки $ A $ у односу на праву $ s $ ако:

$ A_1 $ припада нормали из $ A $ на праву $ s $;
$ A $ и $ A_1 $ се налазе са различитих страна праве $ s $;
$ A $ и $ A_1 $ су једнако удаљене од праве $ s $.

Свака тачка која се налази на самој оси симетрије $ s $ пресликава се у саму себе.

Приказ праве s (оса симетрије) и две тачке A и A1 које су симетричне у односу на њу. Испрекиданом линијом је приказана нормала која спаја ове две тачке и сече осу под правим углом, уз ознаку да су растојања од осе до обе тачке једнака.

Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да чува растојање између тачака (дуж се пресликава у једнаку дуж). Такође чува распоред колинеарних тачака и углове (угао се пресликава у једнак угао).

Слика праве при осној симетрији је такође права. Зависно од њеног положаја према оси $ s $:

Ако права сече осу симетрије, њена слика такође пролази кроз ту тачку пресека.
Ако је права паралелна оси симетрије, њена слика је такође паралелна оси.
Ако је права нормална на осу симетрије, она се пресликава у саму себе.

Да бисмо конструисали слику дужи, пресликавамо само њене крајње тачке. Да бисмо пресликали троугао, пресликавамо његова темена. Да бисмо пресликали кружницу, пресликавамо њен центар, док полупречник остаје исти.

Фигура је осносиметрична ако постоји бар једна права (оса симетрије фигуре) по којој се фигура може "пресавити" тако да се њена два дела потпуно поклопе.

Број оса симетрије код неких познатих фигура:

Паралелограм: 0 оса симетрије.
Правоугаоник (који није квадрат): 2 осе симетрије.
Квадрат: 4 осе симетрије.
Кружница: бесконачно много оса симетрије (свака права која пролази кроз центар).

Симетрала дужи $ AB $ (ознака $ s_{AB} $) је права која садржи средиште те дужи и нормална је на њу.

Ознака: $ s_{AB} $ чита се као "симетрала дужи AB".

Кључна особина: Свака тачка на симетрали дужи једнако је удаљена од крајева те дужи (Ако $ X \in s_{AB} $, онда је $ XA = XB $). Важи и обрнуто: ако је тачка једнако удаљена од крајева дужи, она припада њеној симетрали.

$Дуж AB и њена симетрала s_{AB} која пролази кроз средиште под правим углом. На симетрали је означена тачка X изнад дужи. Дужи XA и XB су повучене и означене као једнаке.$

Да бисмо конструисали симетралу дужи $ AB $, шестаром описујемо два кружна лука истог полупречника (већег од половине дужи) из тачака $ A $ и $ B $. Права која пролази кроз њихове пресечне тачке је симетрала.

Помоћу лењира и шестара можемо извршити следеће конструкције користећи особине симетрале:

Нормала из тачке на праву: Из тачке $ P $ конструишемо кружницу која сече праву $ p $ у две тачке. Затим конструишемо симетралу дужи чији су крајеви те пресечне тачке. Та симетрала је тражена нормала.

Центар кружнице: Центар се налази у пресеку симетрала било које две тетиве те кружнице.

Паралелна права: Кроз тачку $ P $ прво конструишемо нормалу $ n $ на дату праву $ p $, а затим у тачки $ P $ конструишемо нормалу $ a $ на праву $ n $. Добијена права $ a $ је паралелна са $ p $.

Задаци за вежбање

Лак: Колико оса симетрије има дуж, а колико кружница?

Одговор: Дуж има две осе симетрије (права на којој се налази и њена симетрала). Кружница има бесконачно много оса симетрије (свака права која пролази кроз њен центар).

Средњи: Дата је дуж $ PQ $. Тачка $ M $ припада симетрали $ s_{PQ} $. Ако је растојање од тачке $ M $ до тачке $ P $ једнако $ 7 \text{ cm} $, колико износи растојање од тачке $ M $ до тачке $ Q $?

На основу особине симетрале дужи, свака тачка на њој је једнако удаљена од крајева те дужи. Дакле, $ MP = MQ $.
Одговор: Растојање од тачке $ M $ до тачке $ Q $ је такође $ 7 \text{ cm} $.

Средњи: Нека је права $ a $ нормална на осу симетрије $ s $. У шта се пресликава права $ a $ при осној симетрији у односу на праву $ s $?

Одговор: Права која је нормална на осу симетрије пресликава се сама у себе.

Тежак: Објасните како се лењиром и шестаром конструише права $ a $ која пролази кроз тачку $ P $ и паралелна је правој $ p $ (која не садржи $ P $).

Одговор: Конструкција се своди на цртање две нормале. Прво се конструише права $ n $ која пролази кроз $ P $ и нормална је на праву $ p $. Затим се конструише права $ a $ која пролази кроз $ P $ и нормална је на праву $ n $. Како су $ p $ и $ a $ нормалне на исту праву $ n $, оне су међусобно паралелне.

V.3. Симетрала дужи

Изабери решење задатка:

1)

Корак 1: Разматрање услова једнаке удаљености

Корак 2: Одређивање положаја блага

2)

Корак 1: План и приказ конструкције

Корак 2: Опис корака конструкције

Кратак запис решења:

1)

2)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

1)

Корак 1: Разматрање услова једнаке удаљености

Корак 2: Одређивање положаја блага

2)

Корак 1: План и приказ конструкције

Корак 2: Опис корака конструкције

Кратак запис решења:

1)

2)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: