IV.12. Једначине

У сваком од подзадатака непозната величина \( x \) представља умањеник. Непознати умањеник одређујемо тако што разлику саберемо са умањиоцем: \[ x - \text{УМАЊИЛАЦ} = \text{РАЗЛИКА} \implies x = \text{РАЗЛИКА} + \text{УМАЊИЛАЦ} \]

а) \( x - 3 \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)

1. Одређивање непознатог умањеника

Сабирамо разлику и умањилац: \[ x = \frac{1}{6} + 3\frac{1}{3} \]

2. Свођење на заједнички именилац и сабирање

Најмањи заједнички садржалац за имениоце 6 и 3 је \( \text{НЗС}(6, 3) = 6 \). Разломак \( \frac{1}{3} \) проширујемо са 2: \[ 3\frac{1}{3} = 3\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 3\frac{2}{6} \] Сада израчунавамо збир: \[ x = \frac{1}{6} + 3\frac{2}{6} = 3\frac{3}{6} \] Скратимо разломак \( \frac{3}{6} \) највећим заједничким делиоцем, бројем 3: \[ x = 3\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{6}_2} = 3\frac{1}{2} \]

б) \( x - 5,5 = 19,4 \)

1. Одређивање непознатог умањеника

Сабирамо разлику и умањилац: \[ x = 19,4 + 5,5 \]

2. Рачунање потписивањем

Потписујемо децималне бројеве водећи рачуна о поравнању децималне запете: \[ 19,4 + 5,5 = 24,9 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 19,4 & \\ +\,5,5 & \\ \hline 24,9 & \end{array} \] Решење једначине је \( x = 24,9 \).

в) \( x - \frac{11}{12} = 0,6 \)

1. Одређивање непознатог умањеника

Сабирамо разлику и умањилац: \[ x = 0,6 + \frac{11}{12} \]

2. Уједначавање записа бројева и сабирање

Како разломак са имениоцем 12 не можемо записати у облику коначног децималног броја, број \( 0,6 \) преводимо у разломак и скраћујемо: \[ 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{\cancel{6}^3}{\cancel{10}_5} = \frac{3}{5} \] Једначина постаје: \[ x = \frac{3}{5} + \frac{11}{12} \] Одредимо најмањи заједнички садржалац за 5 и 12: \[ \begin{array}{rr|l} 5, & 12 & 2 \\ 5, & 6 & 2 \\ 5, & 3 & 3 \\ 5, & 1 & 5 \\ 1, & 1 & \end{array} \qquad \text{НЗС}(5, 12) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \] Проширујемо разломке: \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{36}{60} \] \[ \frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{55}{60} \] Сабирамо проширене разломке: \[ x = \frac{36}{60} + \frac{55}{60} = \frac{91}{60} \] Претварамо неправи разломак у мешовит број дељењем са остатком (\( 91 : 60 = 1 \) са остатком \( 31 \)): \[ x = 1\frac{31}{60} \]

г) \( x - \frac{3}{8} = 0,008 \)

1. Одређивање непознатог умањеника

Сабирамо разлику и умањилац: \[ x = 0,008 + \frac{3}{8} \]

2. Превођење у исти запис и сабирање

Именилац 8 има само чиниоце 2 (\( 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \)), па разломак \( \frac{3}{8} \) можемо лако претворити у децимални број проширивањем са 125 до декадне јединице 1000: \[ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0,375 \] Сада сабирамо децималне бројеве: \[ x = 0,008 + 0,375 = 0,383 \] \[ \begin{array}{r@{}l} 0,008 & \\ +\,0,375 & \\ \hline 0,383 & \end{array} \] Решење једначине можемо оставити у децималном облику \( x = 0,383 \), или у облику разломка \( x = \frac{383}{1000} \).

а)

\[ x = \frac{1}{6} + 3\frac{1}{3} = \frac{1}{6} + 3\frac{2}{6} = 3\frac{3}{6} = 3\frac{1}{2} \]

б)

\[ x = 19,4 + 5,5 = 24,9 \]

в)

\[ x = \frac{3}{5} + \frac{11}{12} = \frac{36}{60} + \frac{55}{60} = \frac{91}{60} = 1\frac{31}{60} \]

г)

\[ x = 0,008 + 0,375 = 0,383 \]