Корице уџбеника

V.1. Осна симетрија

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 10

Кратко решење

Нацртамо праву \( s \), тачку \( A \in s \) и тачку \( B \notin s \). Спајамо \( A \) и \( B \) да добијемо дуж \( AB \). Нацртај хоризонталну праву означену са \( s \). На правој \( s \) означи тачку \( A \) у њеном централном делу. Изнад праве \( s \), на значајној вертикалној удаљености и хоризонтално померену у односу на тачку \( A \), нацртај тачку \( B \). Повежи тачке \( A \) и \( B \) дужином \( AB \). Одређујемо слике крајњих тачака дужи \( AB \): 1. Тачка \( A \) се налази на оси симетрије \( s \), па је њена слика: \( A_1 = A \) 2. За тачку \( B \), конструишемо нормалу из \( B \) на праву \( s \). Нека је \( P \) подножје те нормале. Шестаром преносимо дужину \( PB \) на супротну страну осе \( s \) да добијемо тачку \( B_1 \): \( PB_1 = PB \) Из тачке B нацртај нормалу на праву s. Користећи шестар, пренеси растојање од тачке B до праве s на супротну страну осе дуж те нормале. Означи добијену тачку са B1. Спајамо слике тачака \( A_1 \) и \( B_1 \): Слика дужи \( AB \) је дуж \( AB_1 \). Повежи тачке A и B1 лењиром. Дуж AB1 је симетрична слика дужи AB.

Детаљно решење

Цртање почетних елемената

Прво ћемо нацртати праву \( s \), која ће бити наша оса симетрије. Затим ћемо нацртати тачку \( A \) тако да она лежи на правој \( s \) (\( A \in s \)) и тачку \( B \) која се налази ван праве \( s \) (\( B \notin s \)). На крају ћемо их спојити лењиром да бисмо добили дуж \( AB \).
Нацртај хоризонталну праву означену са \( s \). На правој \( s \) означи тачку \( A \) у њеном централном делу. Изнад праве \( s \), на значајној вертикалној удаљености и хоризонтално померену у односу на тачку \( A \), нацртај тачку \( B \). Повежи тачке \( A \) и \( B \) дужином \( AB \).

Одређивање симетричне слике тачке \( A \)

Користимо основну особину осне симетрије: свака тачка која припада оси симетрије пресликава се у саму себе. Пошто је \( A \in s \), њена симетрична слика је иста та тачка. - \( A_1 \equiv A \)

Конструкција симетричне слике тачке \( B \)

За тачку \( B \), која не припада оси \( s \), применићемо поступак конструкције помоћу шестара и лењира: 1. Поставимо врх шестара у тачку \( B \) и опишемо лук који сече праву \( s \) у две произвољне тачке, обележимо их са \( M \) и \( N \). 2. Из тачака \( M \) и \( N \), истим отвором шестара, опишемо лукове са супротне стране праве \( s \). 3. Пресек ова два лука је тачка \( B_1 \). Сада је тачка \( B_1 \) симетрична тачки \( B \) у односу на праву \( s \), што значи да је \( s \) симетрала дужи \( BB_1 \).
Из тачке B нацртај нормалу на праву s. Користећи шестар, пренеси растојање од тачке B до праве s на супротну страну осе дуж те нормале. Означи добијену тачку са B1.

Одређивање симетричне слике дужи \( AB \)

Да бисмо добили симетричну слику целе дужи, потребно је спојити слике њених крајњих тачака. Како је слика тачке \( A \) тачка \( A_1 \equiv A \), а слика тачке \( B \) тачка \( B_1 \), лењиром ћемо повући дуж између \( A \) и \( B_1 \). Добијена дуж \( AB_1 \) је тражена симетрична слика дужи \( AB \).
Повежи тачке A и B1 лењиром. Дуж AB1 је симетрична слика дужи AB.

Кратак запис решења:

\( A \in s \Rightarrow A_1 = A \) \( B \notin s \Rightarrow \) конструишемо \( B_1 \) тако да је \( s \) симетрала дужи \( BB_1 \). Слика дужи \( AB \) је дуж \( AB_1 \).

Најважније из лекције

Осна симетрија: Геометријско пресликавање које сваку тачку \( A \) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да је оса симетрије нормална на дуж \( AA_1 \) и полови је. Тачке на оси остају на свом месту.
Изометрија: Ово пресликавање чува растојања (дужине), мере углова и распоред тачака. Дуж се слика у једнаку дуж, а угао у једнак угао.
Пресликавање фигура: Фигуре пресликавамо тако што нађемо слике њихових карактеристичних тачака (темена многоугла, крајеве дужи, центар кружнице) спуштањем нормале на осу и преношењем растојања.
Тачка \( A_1 \) је осносиметрична (или симетрична) тачки \( A \) у односу на праву \( s \) уколико испуњава три услова:
  • \( A_1 \) припада нормали из тачке \( A \) на праву \( s \);
  • \( A_1 \) и \( A \) се налазе са различитих страна праве \( s \);
  • \( A_1 \) и \( A \) су једнако удаљене од праве \( s \).
Приказ праве s (оса симетрије) и две тачке A и A_1 са различитих страна праве. Дуж која спаја A и A_1 је нормална на s (означен прав угао), а растојања од праве s до тачака A и A_1 су означена као једнака.
Пресликавање при ком се свака тачка равни пресликава у своју осносиметричну тачку назива се осна симетрија. Права \( s \) се назива оса симетрије.
Свака тачка која припада оси симетрије \( s \) пресликава се у саму себе.
Растојање између две тачке једнако је растојању између слика тих тачака. Због тога је осна симетрија изометријска трансформација.
  • Колинеарне тачке се пресликавају у колинеарне тачке (права се пресликава у праву).
  • Осна симетрија чува распоред тачака (ако је \( A - B - C \), онда је и \( A_1 - B_1 - C_1 \)).
  • Дуж се пресликава у једнаку дуж.
  • Угао се пресликава у једнак угао.
Специфични положаји правих у односу на осу симетрије:
  • Ако права сече осу, тачка пресека припада и њеној слици.
  • Ако је права паралелна оси, и њена слика је паралелна оси.
  • Ако је права нормална на осу, она се пресликава у саму себе.
Да бисмо конструисали слику \( T_1 \) тачке \( T \) која није на оси \( s \):
1. Из тачке \( T \) конструишемо нормалу на осу \( s \).
2. Шестаром пренесемо растојање од пресека нормале и осе до тачке \( T \) на супротну страну осе.
Слику дужи добијамо тако што пресликамо њене крајње тачке. Слику многоугла (нпр. троугла) добијамо пресликавањем његових темена.
Кружница \( k(O, r) \) се пресликава тако што се преслика само њен центар \( O \) у тачку \( O_1 \). Полупречник \( r \) остаје непромењен, па је слика кружница \( k_1(O_1, r) \).

Задаци за вежбање

Лак: Дужина дужи \( AB \) износи \( 7 \text{ cm} \). Дуж \( AB \) је осном симетријом пресликана у дуж \( A_1B_1 \). Колика је дужина дужи \( A_1B_1 \)?
Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да чува дужине дужи.
Одговор: Дужина дужи \( A_1B_1 \) је такође \( 7 \text{ cm} \).
Средњи: Тачка \( P \) се налази на растојању од \( 4 \text{ cm} \) од осе симетрије \( s \). Колико износи најкраће растојање између тачке \( P \) и њене осносиметричне слике \( P_1 \)?
Тачка \( P_1 \) се налази са друге стране осе \( s \), на истом растојању од ње као и тачка \( P \). Права која их спаја нормална је на осу симетрије.
Растојање између \( P \) и \( P_1 \) једнако је збиру њихових растојања од осе: \( 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање износи \( 8 \text{ cm} \).
Тежак: Нека се праве \( a \) и \( b \) секу у тачки \( M \), при чему права \( a \) није нормална на осу симетрије \( s \), а тачка \( M \) припада оси \( s \). Шта можеш закључити о тачки пресека слика ових правих (\( a_1 \) и \( b_1 \)) након осне симетрије у односу на праву \( s \)?
Свака тачка која припада оси симетрије пресликава се у саму себе. Пошто тачка пресека \( M \) припада оси \( s \), њена слика \( M_1 \) се поклапа са тачком \( M \).
Како се права пресликава у праву, слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) морају садржати слику пресечне тачке.
Одговор: Слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) се такође секу у тачки \( M \) на оси симетрије.

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више