Осна симетрија

Question 1

Задатак 2. Нацртај у свесци са квадратићима тачке $ A, B, C, D, E, F $ и $ G $ и праву $ s $, као што је приказано на слици. Одреди тачке које су осносиметричне нацртаним тачкама у односу на праву $ s $.

Accepted Answer

Тачка $ X_1 $ је осносиметрична тачки $ X $ у односу на праву $ s $ ако права $ s $ садржи средиште дужи $ XX_1 $ и нормална је на њу. Ако тачка припада правој $ s $, она се пресликава у саму себе. Пошто радимо у свесци са квадратићима:
- ако је оса $ s $ хоризонтална, нормале прате вертикалне линије мреже, а растојање у квадратићима одбројавамо са супротне стране осе;
- ако је оса $ s $ вертикална, нормале прате хоризонталне линије мреже, а растојање у квадратићима одбројавамо с...

Question 2

Задатак 3. У свесци са квадратићима напиши слова као на слици испод и нацртај праву $ s $. Пресликај слова осном симетријом у односу на праву $ s $.

Accepted Answer

Задатак се састоји из два дела према слици из уџбеника: у примеру 1) оса симетрије $ s $ је хоризонтална линија испод речи, док је у примеру 2) вертикална линија са десне стране слова.

1)
Корак 1: Анализа положаја осе и слова
Слова „ТОРЕКМ” су нацртана у квадратној мрежи. Свако слово је висине $ 3 $ квадратића и ширине $ 2 $ квадратића (осим евентуално слова са три ступца, зависно од цртежа).
Оса симетрије $ s $ је хоризонтална права постављена за $ 1 $ квадратић испод доње ивице свих...

Question 3

Задатак 4. Тачке $ A $ и $ B $ се осном симетријом у односу на праву $ s $ пресликавају редом у тачке $ A_1 $ и $ B_1 $. Ако је $ AB = 5 \text{ cm} $, тачка $ A $ је $ 3 \text{ cm} $ удаљена од $ s $, и $ B $ је $ 2 \text{ cm} $ удаљена од $ s $, одреди обим четвороугла \( AB...

Accepted Answer

1. Одређивање дужине странице $ A_1B_1 $
Осна симетрија чува дужину дужи, што значи да се свака дуж пресликава у њој једнаку дуж. Како се дуж $ AB $ пресликава у дуж $ A_1B_1 $, њихове дужине су једнаке:
$$ A_1B_1 = AB = 5\text{ cm} $$

2. Одређивање дужине странице $ AA_1 $
Права $ s $ је оса симетрије и симетрала дужи $ AA_1 $. Тачке $ A $ и $ A_1 $ су подједнако удаљене од осе $ s $. Пошто је растојање тачке $ A $ од осе $ s $ једнако $ 3\text{ cm} $, дужина целе дужи...

Question 4

Задатак 5. Права $ p $ се осном симетријом у односу на $ s $ пресликава у праву $ p_1 $. Ако $ p $ са осом $ s $ заклапа угао од $ 29^\circ $, одреди угао између правих $ p $ и $ p_1 $.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа особина осне симетрије
Осна симетрија у односу на праву $ s $ чува углове. Када права $ p $ сече осу симетрије $ s $, њена симетрична слика, права $ p_1 $, сече осу $ s $ у истој тачки и са осом $ s $ заклапа исти угао као и права $ p $.

Угао између праве $ p $ и осе $ s $ износи:
$$ \angle(p, s) = 29^\circ $$

Због очувања мере угла при осној симетрији, угао између праве $ p_1 $ и осе $ s $ једнак је углу између праве $ p $ и осе $ s $:
\[ \angle(p_1,...

Question 5

Задатак 6. Две различите тачке $ A $ и $ A_1 $ симетричне су у односу на праву $ s $. Нека су $ P $ и $ Q $ две различите тачке праве $ s $. Наведи угао који је симетричан, у односу на $ s $, углу:
1) $ PAQ $;
2) $ APQ $;
3) $ AQA_1 $;
4) $ A_1QP $.

Accepted Answer

Анализа пресликавања тачака осном симетријом
Нека је $ I_s $ осна симетрија у односу на праву $ s $.
Према дефиницији и особинама осне симетрије:
- Тачка $ A $ се пресликава у тачку $ A_1 $, што значи да се и тачка $ A_1 $ пресликава у тачку $ A $.
- Пошто тачке $ P $ и $ Q $ припадају оси симетрије $ s $ ($ P \in s, Q \in s $), свака од њих је осносиметрична самој себи, односно пресликава се у саму себе: $ P \mapsto P $ и $ Q \mapsto Q $.

Сваки угао одређен је са три та...

Question 6

Задатак 7. Теме правог угла $ pOq $ припада правој $ s $, а краци $ Op $ и $ Oq $ се налазе са исте стране праве $ s $. Угао $ p_1Oq_1 $ симетричан је углу $ pOq $ у односу на $ s $. Ако $ Op $ и $ s $ заклапају угао од $ 34^\circ $, одреди величину угла:
1) $ pOp_1 $;
2) \(...

Accepted Answer

1) Одређивање величине угла $ pOp_1 $
Корак 1: Примена особина осне симетрије на угао између крака и осе
Права $ s $ је оса симетрије, а теме $ O $ припада правој $ s $. Полуправа $ Op_1 $ је осносиметрична слика полуправе $ Op $ у односу на праву $ s $. Због тога је угао који полуправа $ Op_1 $ заклапа са осом $ s $ једнак углу који полуправа $ Op $ заклапа са осом $ s $:
$$ \angle (Op_1, s) = \angle (Op, s) = 34^\circ $$

Корак 2: Израчунавање угла $ pOp_1 $
Угао \( pOp...

Question 7

Задатак 8. Нацртај три неколинеарне тачке $ A, B $ и $ C $. Нацртај тачку $ A_1 $ која је осносиметрична тачки $ A $ у односу на праву $ p(B, C) $.

Accepted Answer

Корак 1: Цртање задатих тачака и праве
Нацртамо три неколинеарне тачке $ A, B $ и $ C $, што значи да оне не припадају истој правој. Лењиром повучемо праву која пролази кроз тачке $ B $ и $ C $. Ову праву означавамо са $ p(B, C) $ или краће са $ p $. Она представља осу симетрије.

1. Нацртај три неколинеарне тачке $ A, B $ и $ C $. Тачка $ A $ треба да буде позиционирана изнад линије коју формирају тачке $ B $ и $ C $.
2. Повуци праву линију кроз тачке $ B $ и $ C $. Оз...

Question 8

Задатак 9. Нацртај тачке $ A $ и $ B $ са исте стране праве $ s $, а затим одреди симетричну слику дужи $ AB $ у односу на $ s $.

Accepted Answer

Корак 1: Цртање праве и тачака
Нацртамо праву $ s $, а затим са исте стране праве $ s $ означимо произвољне тачке $ A $ и $ B $ и спојимо их да добијемо дуж $ AB $.

Из тачака A и B повуци танке испрекидане линије нормалне на праву s. Помоћу шестара пренеси растојање сваке тачке од осе на десну страну праве s. Означи те тачке са A_1 и B_1. На крају, подебљаном линијом споји A_1 и B_1.

Корак 2: Одређивање симетричне слике тачке $ A $
1. Помоћу троугаоног лењира кроз тачку $ A $ пов...

Question 9

Задатак 10. Нацртај праву $ s $ и тачке $ A $ и $ B $ такве да $ A \in s $ и $ B \notin s $. Одреди симетричну слику дужи $ AB $ у односу на $ s $.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа положаја тачака у односу на осу
Да бисмо одредили симетричну слику дужи $ AB $ у односу на праву $ s $, потребно је да одредимо осносиметричне слике њених крајњих тачака $ A $ и $ B $.

Како тачка $ A $ припада оси $ s $ ($ A \in s $), њена симетрична слика је сама тачка $ A $:
$$ A_1 = A $$

Тачка $ B $ не припада оси $ s $ ($ B \notin s $), па њену слику $ B_1 $ одређујемо конструкцијом.

Корак 2: Конструкција слике тачке $ B $
1. Из тачке $ B $ кон...

Question 10

Задатак 11. Нацртај праве $ p $ и $ s $ које се секу у тачки $ P $. Одреди симетричну слику праве $ p $ у односу на $ s $.

Accepted Answer

Корак 1: Анализа задатка и цртање
На правој p означи тачку A. Конструиши нормалу из A на s. Пренеси растојање од A до s на другу страну и означи тачку A_1. Повуци праву кроз тачке P и A_1. Ову нову праву обележи са p_1.
Праве $ p $ и $ s $ секу се у тачки $ P $. Желимо да одредимо симетричну слику праве $ p $ у односу на осу симетрије $ s $. Означимо тражену праву са $ p_1 $.

Корак 2: Одређивање слике тачке пресека
Тачка $ P $ је пресечна тачка правих $ p $ и $ s $, што значи...

Question 11

Задатак 12. Нацртај паралелне праве $ q $ и $ s $. Одреди симетричну слику праве $ q $ у односу на $ s $.

Accepted Answer

Корак 1: Цртање задатих паралелних правих и одређивање њихове симетричне слике
Нацртај праву $ s $ хоризонтално. Изнад ње, на некој произвољној вертикалној удаљености, нацртај праву $ q $ која је паралелна са $ s $. Затим, нацртај трећу праву $ q_1 $ испод праве $ s $. Права $ q_1 $ мора бити паралелна са $ s $ и постављена на истом вертикалном растојању од праве $ s $ као што је права $ q $ постављена изнад праве $ s $. Означи све три праве са $ q $, $ s $ и $ q_1 $....

Question 12

Задатак 13. Нацртај произвољан троугао $ EFG $, а затим га пресликај осном симетријом у односу на праву $ p(F, G) $.

Accepted Answer

Цртање почетног троугла и осе симетрије
Прво ћемо нацртати произвољан троугао $ EFG $. Након тога, повући ћемо праву $ p $ која пролази кроз темена $ F $ и $ G $. Ова права ће бити наша оса симетрије.
1.  Нацртај произвољан троугао $ EFG $. Постави темена $ F $ и $ G $ на једну праву (осу симетрије $ p $), а теме $ E $ ван те праве.
2.  Дефиниши праву $ p $ која пролази кроз тачке $ F $ и $ G $ као осу симетрије.
3.  Из тачке $ E $ спусти нормалу на праву $ p $. Нека...

Question 13

Задатак 14. Конструиши кружницу $ k(O, 3 \text{ cm}) $ и једну њену сечицу $ s $ тако да одговарајућа тетива буде једнака полупречнику. Кружницу $ k(O, 3 \text{ cm}) $ пресликај осном симетријом у односу на праву $ s $.

Accepted Answer

Корак 1: Конструкција дате кружнице и њене сечице
Прво лењиром и шестаром одредимо центар $ O $ и конструишемо кружницу $ k(O, 3\text{ cm}) $.
Да би тетива кружнице била једнака полупречнику ($ AB = r = 3\text{ cm} $), на кружници одаберемо произвољну тачку $ A $. Са отвором шестара од $ 3\text{ cm} $ из тачке $ A $ пресечемо кружницу $ k $ у тачки $ B $.
Права $ s = p(A, B) $ која пролази кроз тачке $ A $ и $ B $ представља тражену сечицу кружнице $ k $.

1. Нацртај тачк...

Question 14

Задатак 15. Нацртај кружницу $ k(O, OT) $ и њену тангенту $ t $ у тачки $ T $. Пресликај нацртану кружницу осном симетријом у односу на праву $ t $. Да ли је права $ t $ тангента и добијене слике? Зашто?

Accepted Answer

Корак 1: Конструкција дате кружнице, њене тангенте и осносиметричне слике
1. Нацртај дуж $ OT $.
2. Одреди тачку $ O_1 $ на правој која пролази кроз $ O $ и $ T $, тако да тачка $ T $ буде средиште дужи $ OO_1 $. То значи да се тачка $ O_1 $ налази са супротне стране праве $ t $ у односу на тачку $ O $, при чему је растојање $ OT = O_1T $. Означи ову тачку са $ O_1 $.
3. Нацртај кружницу $ k_1 $ са центром у тачки $ O_1 $ и истим полупречником $ r $ као кружница \( k...

Question 15

Задатак 16. Нацртај две нормалне праве $ a $ и $ b $. У области једног од правих углова које образују праве $ a $ и $ b $, нацртај троугао $ ABC $. Троугао $ ABC $ пресликај у $ \Delta A_1B_1C_1 $ осном симетријом у односу на $ a $. Затим, троугао $ A_1B_1C_1 $ пресликај у \( \Delt...

Accepted Answer

Корак 1: Конструкција почетних правих и троугла
Нацртамо две међусобно нормалне праве $ a $ и $ b $ које се секу у тачки $ O $. У једној од четири добијене области правог угла нацртамо произвољан троугао $ ABC $.

Нацртај нормале из темена A1, B1 и C1 на праву b. Помоћу шестара пренеси дужине до праве b на доњу страну и означи темена A2, B2 и C2. Спој их да добијеш троугао А2В2С2.

Корак 2: Осна симетрија у односу на праву $ a $
Свако теме троугла $ ABC $ пресликавамо осном симетријо...

V.1. Осна симетрија

Изабери решење задатка:

Корак 1: Анализа задатка и цртање

Корак 2: Одређивање слике тачке пресека

Корак 3: Конструкција слике произвољне тачке са праве \( p \)

Корак 4: Повлачење симетричне праве

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста