Корице уџбеника

V.1. Осна симетрија

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 6

Кратко решење

Тачке \( A \) и \( A_1 \) су симетричне у односу на праву \( s \), па је \( S_s(A) = A_1 \) и \( S_s(A_1) = A \). Тачке \( P \) и \( Q \) припадају оси \( s \), па је \( S_s(P) = P \) и \( S_s(Q) = Q \).

1) Угао симетричан углу \( PAQ \)

\( S_s(\angle PAQ) = \angle S_s(P)S_s(A)S_s(Q) = \angle PA_1Q \)

2) Угао симетричан углу \( APQ \)

\( S_s(\angle APQ) = \angle S_s(A)S_s(P)S_s(Q) = \angle A_1PQ \)

3) Угао симетричан углу \( AQA_1 \)

\( S_s(\angle AQA_1) = \angle S_s(A)S_s(Q)S_s(A_1) = \angle A_1QA \)

4) Угао симетричан углу \( A_1QP \)

\( S_s(\angle A_1QP) = \angle S_s(A_1)S_s(Q)S_s(P) = \angle AQP \)

Детаљно решење

Корак 1: Анализа својстава осне симетрије

Осна симетрија у односу на праву \( s \) је изометријско пресликавање које сваку тачку \( M \) равни пресликава у тачку \( M_1 \). Основна својства која ћемо користити су: - Ако тачка припада оси симетрије \( s \), она се пресликава у саму себе. Дакле, за тачке \( P \) и \( Q \) које леже на правој \( s \), важи \( P_1 = P \) и \( Q_1 = Q \). - Ако су тачке \( A \) и \( A_1 \) симетричне у односу на \( s \), онда је слика тачке \( A \) тачка \( A_1 \), а слика тачке \( A_1 \) је тачка \( A \). - Угао се пресликава у себи симетричан (подударан) угао тако што се пресликају његово теме и тачке на његовим крацима.

Корак 2: Одређивање симетричног угла за \( \angle PAQ \)

Теме овог угла је тачка \( A \), а краци су полуправе \( AP \) и \( AQ \). - Слика темена \( A \) је тачка \( A_1 \). - Слика тачке \( P \) (пошто \( P \in s \)) је тачка \( P \). - Слика тачке \( Q \) (пошто \( Q \in s \)) је тачка \( Q \). Према томе, симетричан угао углу \( \angle PAQ \) је угао \( \angle PA_1Q \).

Корак 3: Одређивање симетричног угла за \( \angle APQ \)

Теме овог угла је тачка \( P \), а краци садрже тачке \( A \) и \( Q \). - Слика темена \( P \) је тачка \( P \). - Слика тачке \( A \) је тачка \( A_1 \). - Слика тачке \( Q \) је тачка \( Q \). Према томе, симетричан угао углу \( \angle APQ \) је угао \( \angle A_1PQ \).

Корак 4: Одређивање симетричног угла за \( \angle AQA_1 \)

Теме овог угла је тачка \( Q \), а краци садрже тачке \( A \) и \( A_1 \). - Слика темена \( Q \) је тачка \( Q \). - Слика тачке \( A \) је тачка \( A_1 \). - Слика тачке \( A_1 \) је тачка \( A \). Симетричан угао би био \( \angle A_1QA \). Како је ово исти скуп тачака и исти отвор између кракова, симетричан угао углу \( \angle AQA_1 \) је он сам, односно \( \angle A_1QA \).

Корак 5: Одређивање симетричног угла за \( \angle A_1QP \)

Теме овог угла је тачка \( Q \), а краци садрже тачке \( A_1 \) и \( P \). - Слика темена \( Q \) је тачка \( Q \). - Слика тачке \( A_1 \) је тачка \( A \). - Слика тачке \( P \) је тачка \( P \). Према томе, симетричан угао углу \( \angle A_1QP \) је угао \( \angle AQP \).

Кратак запис решења:

1) \( S_s(\angle PAQ) = \angle PA_1Q \) 2) \( S_s(\angle APQ) = \angle A_1PQ \) 3) \( S_s(\angle AQA_1) = \angle A_1QA \) 4) \( S_s(\angle A_1QP) = \angle AQP \)

Најважније из лекције

Осна симетрија: Геометријско пресликавање које сваку тачку \( A \) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да је оса симетрије нормална на дуж \( AA_1 \) и полови је. Тачке на оси остају на свом месту.
Изометрија: Ово пресликавање чува растојања (дужине), мере углова и распоред тачака. Дуж се слика у једнаку дуж, а угао у једнак угао.
Пресликавање фигура: Фигуре пресликавамо тако што нађемо слике њихових карактеристичних тачака (темена многоугла, крајеве дужи, центар кружнице) спуштањем нормале на осу и преношењем растојања.
Тачка \( A_1 \) је осносиметрична (или симетрична) тачки \( A \) у односу на праву \( s \) уколико испуњава три услова:
  • \( A_1 \) припада нормали из тачке \( A \) на праву \( s \);
  • \( A_1 \) и \( A \) се налазе са различитих страна праве \( s \);
  • \( A_1 \) и \( A \) су једнако удаљене од праве \( s \).
Приказ праве s (оса симетрије) и две тачке A и A_1 са различитих страна праве. Дуж која спаја A и A_1 је нормална на s (означен прав угао), а растојања од праве s до тачака A и A_1 су означена као једнака.
Пресликавање при ком се свака тачка равни пресликава у своју осносиметричну тачку назива се осна симетрија. Права \( s \) се назива оса симетрије.
Свака тачка која припада оси симетрије \( s \) пресликава се у саму себе.
Растојање између две тачке једнако је растојању између слика тих тачака. Због тога је осна симетрија изометријска трансформација.
  • Колинеарне тачке се пресликавају у колинеарне тачке (права се пресликава у праву).
  • Осна симетрија чува распоред тачака (ако је \( A - B - C \), онда је и \( A_1 - B_1 - C_1 \)).
  • Дуж се пресликава у једнаку дуж.
  • Угао се пресликава у једнак угао.
Специфични положаји правих у односу на осу симетрије:
  • Ако права сече осу, тачка пресека припада и њеној слици.
  • Ако је права паралелна оси, и њена слика је паралелна оси.
  • Ако је права нормална на осу, она се пресликава у саму себе.
Да бисмо конструисали слику \( T_1 \) тачке \( T \) која није на оси \( s \):
1. Из тачке \( T \) конструишемо нормалу на осу \( s \).
2. Шестаром пренесемо растојање од пресека нормале и осе до тачке \( T \) на супротну страну осе.
Слику дужи добијамо тако што пресликамо њене крајње тачке. Слику многоугла (нпр. троугла) добијамо пресликавањем његових темена.
Кружница \( k(O, r) \) се пресликава тако што се преслика само њен центар \( O \) у тачку \( O_1 \). Полупречник \( r \) остаје непромењен, па је слика кружница \( k_1(O_1, r) \).

Задаци за вежбање

Лак: Дужина дужи \( AB \) износи \( 7 \text{ cm} \). Дуж \( AB \) је осном симетријом пресликана у дуж \( A_1B_1 \). Колика је дужина дужи \( A_1B_1 \)?
Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да чува дужине дужи.
Одговор: Дужина дужи \( A_1B_1 \) је такође \( 7 \text{ cm} \).
Средњи: Тачка \( P \) се налази на растојању од \( 4 \text{ cm} \) од осе симетрије \( s \). Колико износи најкраће растојање између тачке \( P \) и њене осносиметричне слике \( P_1 \)?
Тачка \( P_1 \) се налази са друге стране осе \( s \), на истом растојању од ње као и тачка \( P \). Права која их спаја нормална је на осу симетрије.
Растојање између \( P \) и \( P_1 \) једнако је збиру њихових растојања од осе: \( 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање износи \( 8 \text{ cm} \).
Тежак: Нека се праве \( a \) и \( b \) секу у тачки \( M \), при чему права \( a \) није нормална на осу симетрије \( s \), а тачка \( M \) припада оси \( s \). Шта можеш закључити о тачки пресека слика ових правих (\( a_1 \) и \( b_1 \)) након осне симетрије у односу на праву \( s \)?
Свака тачка која припада оси симетрије пресликава се у саму себе. Пошто тачка пресека \( M \) припада оси \( s \), њена слика \( M_1 \) се поклапа са тачком \( M \).
Како се права пресликава у праву, слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) морају садржати слику пресечне тачке.
Одговор: Слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) се такође секу у тачки \( M \) на оси симетрије.

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више