V.1. Осна симетрија

1) Одређивање величине угла \( pOp_1 \)

Корак 1: Примена особина осне симетрије на угао између крака и осе

Права \( s \) је оса симетрије, а теме \( O \) припада правој \( s \). Полуправа \( Op_1 \) је осносиметрична слика полуправе \( Op \) у односу на праву \( s \). Због тога је угао који полуправа \( Op_1 \) заклапа са осом \( s \) једнак углу који полуправа \( Op \) заклапа са осом \( s \): \[ \angle (Op_1, s) = \angle (Op, s) = 34^\circ \]

Корак 2: Израчунавање угла \( pOp_1 \)

Угао \( pOp_1 \) чине два суседна угла која граде полуправе \( Op \) и \( Op_1 \) са осом \( s \): \[ \angle pOp_1 = \angle (Op, s) + \angle (Op_1, s) \] \[ \angle pOp_1 = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ \] \[ \begin{array}{r@{}l} 34 & \\ +\,34 & \\ \hline 68 & \end{array} \]

2) Одређивање величине угла \( p_1Oq_1 \)

Корак 1: Примена својства очувања мере угла при осној симетрији

Осна симетрија је изометријска трансформација и чува мере углова, што значи да се сваки угао пресликава у њему једнак угао. Пошто је угао \( p_1Oq_1 \) слика правог угла \( pOq \), њихове мере су једнаке: \[ \angle p_1Oq_1 = \angle pOq = 90^\circ \]

3) Одређивање величине угла \( qOq_1 \)

Корак 1: Одређивање угла који крак \( Oq \) заклапа са осом \( s \)

Угао \( pOq \) је прав (\( 90^\circ \)) и састоји се од угла \( \angle(Op, s) \) и угла који заклапа крак \( Oq \) са том истом осом с обзиром да се краци налазе са исте стране праве \( s \): \[ \angle (Oq, s) = \angle pOq + \angle (Op, s) \] \[ \angle (Oq, s) = 90^\circ + 34^\circ = 124^\circ \] \[ \begin{array}{r@{}l} 90 & \\ +\,34 & \\ \hline 124 & \end{array} \]

Корак 2: Израчунавање угла \( qOq_1 \)

Права \( s \) представља симетралу угла \( qOq_1 \), јер су полуправе \( Oq \) и \( Oq_1 \) симетричне у односу на \( s \). Зато је угао \( qOq_1 \) једнак збиру та два једнака угла: \[ \angle qOq_1 = 2 \cdot \angle (Oq, s) \] \[ \angle qOq_1 = 2 \cdot 124^\circ = 248^\circ \] Алтернативно, угао \( qOq_1 \) можемо израчунати сабирањем углова: \[ \angle qOq_1 = \angle pOq + \angle p_1Oq_1 + \angle pOp_1 \] \[ \angle qOq_1 = 90^\circ + 90^\circ + 68^\circ = 180^\circ + 68^\circ = 248^\circ \] \[ \begin{array}{r@{}l} 180 & \\ +\,68 & \\ \hline 248 & \end{array} \]

1)

\[ \angle pOp_1 = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ \]

2)

\[ \angle p_1Oq_1 = 90^\circ \]

3)

\[ \angle qOq_1 = 90^\circ + 90^\circ + 68^\circ = 248^\circ \]