Корице уџбеника

V.1. Осна симетрија

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 9

Кратко решење

Дате су тачке \( A \) и \( B \) и права \( s \) тако да \( A, B \notin s \) и налазе се са исте стране осе. Нацртај хоризонталну праву линију и означи је словом \( s \), постављајући ознаку испод линије. Изнад праве \( s \), нацртај две произвољне тачке: тачку \( A \) постави на левој страни цртежа, а тачку \( B \) на десној страни цртежа, десно од тачке \( A \). Означи ове тачке са \( A \) и \( B \). На крају, нацртај дуж \( AB \) повезујући тачке \( A \) и \( B \). 1. Конструкција тачке \( A_1 \): \( n_A \perp s, A \in n_A \) \( \{P\} = n_A \cap s \) \( k(P, PA) \cap n_A = \{A_1\}, A_1 \neq A \) 2. Конструкција тачке \( B_1 \): \( n_B \perp s, B \in n_B \) \( \{Q\} = n_B \cap s \) \( k(Q, QB) \cap n_B = \{B_1\}, B_1 \neq B \) 3. Слика дужи \( AB \): Спојимо \( A_1 \) и \( B_1 \). Дуж \( A_1B_1 \) је тражена слика. \( AB \xrightarrow{s} A_1B_1 \) Из тачака A и B повуци танке испрекидане линије нормалне на праву s. Помоћу шестара пренеси растојање сваке тачке од осе на десну страну праве s. Означи те тачке са A_1 и B_1. На крају, подебљаном линијом споји A_1 и B_1.

Детаљно решење

Цртање почетних елемената

За почетак, нацртаћемо праву \( s \) која представља осу симетрије. Са исте стране праве \( s \), нацртаћемо две тачке \( A \) и \( B \), а затим их спојити лењиром да бисмо добили дуж \( AB \).
Нацртај хоризонталну праву линију и означи је словом \( s \), постављајући ознаку испод линије. Изнад праве \( s \), нацртај две произвољне тачке: тачку \( A \) постави на левој страни цртежа, а тачку \( B \) на десној страни цртежа, десно од тачке \( A \). Означи ове тачке са \( A \) и \( B \). На крају, нацртај дуж \( AB \) повезујући тачке \( A \) и \( B \).

Конструкција симетричне слике тачке \( A \)

Да бисмо одредили слику \( A_1 \), применићемо поступак конструкције осносиметричне тачке: 1. Поставимо троугаони лењир на осу \( s \) и нацртамо нормалу из тачке \( A \) на праву \( s \). Нека је \( P \) тачка пресека нормале и осе. 2. Шестаром измеримо растојање од тачке \( P \) до тачке \( A \). 3. Истим отвором шестара, из тачке \( P \), опишемо лук на супротној страни праве \( s \). Пресек лука и нормале је тачка \( A_1 \). Сада важи да је \( s \) симетрала дужи \( AA_1 \).

Конструкција симетричне слике тачке \( B \)

Поновићемо исти поступак за тачку \( B \): 1. Конструишемо нормалу из тачке \( B \) на осу \( s \). Нека је \( Q \) тачка у којој ова нормала сече осу \( s \). 2. Шестаром пренесемо дужину \( QB \) на супротну страну праве \( s \) дуж те нормале. 3. Тачку коју добијемо означићемо са \( B_1 \).

Одређивање симетричне слике дужи \( AB \)

Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да се дуж пресликава у дуж једнаке дужине. 1. Лењиром спојимо конструисане тачке \( A_1 \) и \( B_1 \). 2. Добијена дуж \( A_1B_1 \) је симетрична слика дужи \( AB \) у односу на праву \( s \).
Из тачака A и B повуци танке испрекидане линије нормалне на праву s. Помоћу шестара пренеси растојање сваке тачке од осе на десну страну праве s. Означи те тачке са A_1 и B_1. На крају, подебљаном линијом споји A_1 и B_1.

Кратак запис решења:

1. \( n_A \perp s, P \in s \cap n_A, PA = PA_1 \Rightarrow A \xrightarrow{s} A_1 \) 2. \( n_B \perp s, Q \in s \cap n_B, QB = QB_1 \Rightarrow B \xrightarrow{s} B_1 \) 3. Слика дужи \( AB \) је дуж \( A_1B_1 \).

Најважније из лекције

Осна симетрија: Геометријско пресликавање које сваку тачку \( A \) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да је оса симетрије нормална на дуж \( AA_1 \) и полови је. Тачке на оси остају на свом месту.
Изометрија: Ово пресликавање чува растојања (дужине), мере углова и распоред тачака. Дуж се слика у једнаку дуж, а угао у једнак угао.
Пресликавање фигура: Фигуре пресликавамо тако што нађемо слике њихових карактеристичних тачака (темена многоугла, крајеве дужи, центар кружнице) спуштањем нормале на осу и преношењем растојања.
Тачка \( A_1 \) је осносиметрична (или симетрична) тачки \( A \) у односу на праву \( s \) уколико испуњава три услова:
  • \( A_1 \) припада нормали из тачке \( A \) на праву \( s \);
  • \( A_1 \) и \( A \) се налазе са различитих страна праве \( s \);
  • \( A_1 \) и \( A \) су једнако удаљене од праве \( s \).
Приказ праве s (оса симетрије) и две тачке A и A_1 са различитих страна праве. Дуж која спаја A и A_1 је нормална на s (означен прав угао), а растојања од праве s до тачака A и A_1 су означена као једнака.
Пресликавање при ком се свака тачка равни пресликава у своју осносиметричну тачку назива се осна симетрија. Права \( s \) се назива оса симетрије.
Свака тачка која припада оси симетрије \( s \) пресликава се у саму себе.
Растојање између две тачке једнако је растојању између слика тих тачака. Због тога је осна симетрија изометријска трансформација.
  • Колинеарне тачке се пресликавају у колинеарне тачке (права се пресликава у праву).
  • Осна симетрија чува распоред тачака (ако је \( A - B - C \), онда је и \( A_1 - B_1 - C_1 \)).
  • Дуж се пресликава у једнаку дуж.
  • Угао се пресликава у једнак угао.
Специфични положаји правих у односу на осу симетрије:
  • Ако права сече осу, тачка пресека припада и њеној слици.
  • Ако је права паралелна оси, и њена слика је паралелна оси.
  • Ако је права нормална на осу, она се пресликава у саму себе.
Да бисмо конструисали слику \( T_1 \) тачке \( T \) која није на оси \( s \):
1. Из тачке \( T \) конструишемо нормалу на осу \( s \).
2. Шестаром пренесемо растојање од пресека нормале и осе до тачке \( T \) на супротну страну осе.
Слику дужи добијамо тако што пресликамо њене крајње тачке. Слику многоугла (нпр. троугла) добијамо пресликавањем његових темена.
Кружница \( k(O, r) \) се пресликава тако што се преслика само њен центар \( O \) у тачку \( O_1 \). Полупречник \( r \) остаје непромењен, па је слика кружница \( k_1(O_1, r) \).

Задаци за вежбање

Лак: Дужина дужи \( AB \) износи \( 7 \text{ cm} \). Дуж \( AB \) је осном симетријом пресликана у дуж \( A_1B_1 \). Колика је дужина дужи \( A_1B_1 \)?
Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да чува дужине дужи.
Одговор: Дужина дужи \( A_1B_1 \) је такође \( 7 \text{ cm} \).
Средњи: Тачка \( P \) се налази на растојању од \( 4 \text{ cm} \) од осе симетрије \( s \). Колико износи најкраће растојање између тачке \( P \) и њене осносиметричне слике \( P_1 \)?
Тачка \( P_1 \) се налази са друге стране осе \( s \), на истом растојању од ње као и тачка \( P \). Права која их спаја нормална је на осу симетрије.
Растојање између \( P \) и \( P_1 \) једнако је збиру њихових растојања од осе: \( 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање износи \( 8 \text{ cm} \).
Тежак: Нека се праве \( a \) и \( b \) секу у тачки \( M \), при чему права \( a \) није нормална на осу симетрије \( s \), а тачка \( M \) припада оси \( s \). Шта можеш закључити о тачки пресека слика ових правих (\( a_1 \) и \( b_1 \)) након осне симетрије у односу на праву \( s \)?
Свака тачка која припада оси симетрије пресликава се у саму себе. Пошто тачка пресека \( M \) припада оси \( s \), њена слика \( M_1 \) се поклапа са тачком \( M \).
Како се права пресликава у праву, слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) морају садржати слику пресечне тачке.
Одговор: Слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) се такође секу у тачки \( M \) на оси симетрије.

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више