Решења свих 20 задатака из математике са завршног испита 2026, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 19
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
\( r = OA = OT = 10 \text{ m} \), \( AB = 12 \text{ m} \), \( h = MT = ? \)
\( AM = \frac{AB}{2} = \frac{\cancel{12}^{6}}{\cancel{2}_{1}} = 6 \text{ m} \)
\( \triangle OMA \): \( OM^2 + AM^2 = OA^2 \)
\( OM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \)
\( OM = \sqrt{64} = 8 \text{ m} \)
\( h = OM + OT = 8 + 10 = 18 \text{ m} \)
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
Нацртати кружницу са центром O и полупречником 10 m. Испод центра нацртати хоризонталну тетиву AB дужине 12 m која представља тло; центар O је изнад тетиве. Део круга изнад тетиве осенчити. Из центра O спустити нормалу на тетиву AB, са подножјем M у средини тетиве, и код M означити прав угао. Означити AM = 6 m и OM = d. Нацртати полупречник OA и поред њега написати 10 m. Продужити дуж MO навише до пресека са кружницом у тачки T (највиша тачка кружнице) и означити OT = 10 m. Дуж MT означити као висину улаза h.
Корак 1: Скица
Улаз у пећину је део круга полупречника \( r = 10 \text{ m} \) чија тетива дужине \( 12 \text{ m} \) лежи на тлу, а центар \( O \) је изнад тетиве. Висина улаза је растојање од тла до највише тачке кружнице.Нацртати кружницу са центром O и полупречником 10 m. Испод центра нацртати хоризонталну тетиву AB дужине 12 m која представља тло; центар O је изнад тетиве. Део круга изнад тетиве осенчити. Из центра O спустити нормалу на тетиву AB, са подножјем M у средини тетиве, и код M означити прав угао. Означити AM = 6 m и OM = d. Нацртати полупречник OA и поред њега написати 10 m. Продужити дуж MO навише до пресека са кружницом у тачки T (највиша тачка кружнице) и означити OT = 10 m. Дуж MT означити као висину улаза h.
Корак 2: Половина тетиве
Троугао \( OAB \) је једнакокраки, јер је \( OA = OB = r \). Зато висина \( OM \) из центра на тетиву полови тетиву: \[ AM = \frac{AB}{2} = \frac{\cancel{12}^{6}}{\cancel{2}_{1}} = 6 \text{ m} \]Корак 3: Растојање центра од тла
Троугао \( OMA \) је правоугли са правим углом код \( M \), хипотенузом \( OA = 10 \text{ m} \) и катетама \( AM \) и \( OM \). По Питагориној теореми: \[ OM^2 + AM^2 = OA^2 \] \[ OM^2 = OA^2 - AM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ OM = \sqrt{64} = 8 \text{ m} \]Корак 4: Висина улаза
Висина улаза је дуж \( MT \), која се састоји од растојања центра од тла \( OM \) и полупречника \( OT \): \[ h = OM + OT = 8 + 10 = 18 \text{ m} \] Висина улаза у пећину је \( 18 \text{ m} \).Кратак запис решења:
\( AM = 12 : 2 = 6 \text{ m} \)
\( OM = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ m} \)
\( h = 8 + 10 = 18 \text{ m} \)
