2. Пробни завршни испит 2026 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 9

Корак 1: Цртамо скицу

Нацртати квадрат ABCD (A доле лево, B доле десно, C горе десно, D горе лево) и његову дијагоналу BD. У доњем десном углу нацртати мањи квадрат BFGE: тачка E је на страници AB, тачка F на страници BC, а тачка G на дијагонали BD. Нацртати дужи GC и AG. Уз дуж DG написати 8√2 cm, а уз дуж GC написати 10 cm. Из тачке G спустити нормалу на страницу DC и њено подножје означити са K (испрекиданом линијом). Осенчити троугао AEG и квадрат BFGE.

Корак 2: Рачунамо дужину \( KG \)

Нека је \( K \) подножје нормале из тачке \( G \) на страницу \( DC \). Дијагонала квадрата полови његов прав угао, па је \( \angle KDG = 45^\circ \). У правоуглом троуглу \( DKG \) је онда и \( \angle DGK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \), па је тај троугао једнакокрак: \( DK = KG \). По Питагориној теореми: \[ DK^2 + KG^2 = DG^2 \] \[ 2 \cdot KG^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128 \] \[ KG^2 = 64 \] \[ KG = 8\,cm \]

Корак 3: Рачунамо страницу квадрата \( BFGE \)

Четвороугао \( GFCK \) има све углове праве, па је правоугаоник и \( FC = KG = 8\,cm \). Троугао \( GFC \) је правоугли са правим углом код \( F \). По Питагориној теореми: \[ GF^2 + FC^2 = GC^2 \] \[ GF^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ GF^2 = 100 - 64 = 36 \] \[ GF = 6\,cm \] Страница квадрата \( BFGE \) је \( 6\,cm \), па је и \( GE = EB = 6\,cm \).

Корак 4: Рачунамо страницу квадрата \( ABCD \) и дуж \( AE \)

\[ BC = BF + FC = 6 + 8 = 14\,cm \] \[ AE = AB - EB = 14 - 6 = 8\,cm \]

Корак 5: Рачунамо површину осенченог дела

Осенчени део чине правоугли троугао \( AEG \) (прав угао код \( E \), катете \( AE \) и \( GE \)) и квадрат \( BFGE \). \[ P_{AEG} = \frac{AE \cdot GE}{2} = \frac{\cancel{8}^{4} \cdot 6}{\cancel{2}_1} = 24\,cm^2 \] \[ P_{BFGE} = GF^2 = 6^2 = 36\,cm^2 \] \[ P = P_{AEG} + P_{BFGE} = 24 + 36 = 60\,cm^2 \] Површина осенченог дела квадрата \( ABCD \) је \( 60\,cm^2 \).

\( 2 \cdot KG^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128 \Rightarrow KG = FC = 8\,cm \) \( GF^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \Rightarrow GF = 6\,cm \), \( AE = 14 - 6 = 8\,cm \) \( P = \frac{8 \cdot 6}{2} + 6^2 = 24 + 36 = 60\,cm^2 \)