Решења свих 20 задатака из математике са пробног завршног испита 2026, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 20
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10
\( a \) - страница шестоугла, \( r \) - полупречник круга
\( EG = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6 \)
\( a\sqrt{3} = 12 \)
\( a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{\cancel{12}^{4}\sqrt{3}}{\cancel{3}_1} = 4\sqrt{3}\,cm \)
\( r = a = 4\sqrt{3}\,cm \)
\( P_i = \frac{r^2\pi \cdot \alpha}{360^\circ} = \frac{(4\sqrt{3})^2\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\cancel{48}^{8}\pi}{\cancel{6}_1} = 8\pi\,cm^2 \)
\( P_{\triangle} = \frac{a \cdot EG}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \cancel{6}^{3}}{\cancel{2}_1} = 12\sqrt{3}\,cm^2 \)
\( P_o = P_i - P_{\triangle} = (8\pi - 12\sqrt{3})\,cm^2 \)
\( P = 2 \cdot P_o = 2 \cdot (8\pi - 12\sqrt{3}) = (16\pi - 24\sqrt{3})\,cm^2 \)
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10
Нацртати круг са центром O и у њега уписан правилан шестоугао ABCDEF: F лево и C десно на хоризонталном пречнику, E горе лево, D горе десно, A доле лево, B доле десно. Нацртати полупречнике OF, OE и OD. На дужи FO означити тачку G тако да је EG нормално на FO, означити прав угао код G и уз дуж EG написати 6 cm. Осенчити два кружна одсечка: између тетиве EF и лука EF и између тетиве ED и лука ED.
Корак 1: Цртамо скицу
Нацртати круг са центром O и у њега уписан правилан шестоугао ABCDEF: F лево и C десно на хоризонталном пречнику, E горе лево, D горе десно, A доле лево, B доле десно. Нацртати полупречнике OF, OE и OD. На дужи FO означити тачку G тако да је EG нормално на FO, означити прав угао код G и уз дуж EG написати 6 cm. Осенчити два кружна одсечка: између тетиве EF и лука EF и између тетиве ED и лука ED.
Корак 2: Рачунамо страницу шестоугла и полупречник круга
Правилан шестоугао уписан у круг састоји се од шест једнакостраничних троуглова са заједничким теменом \( O \), па је полупречник круга једнак страници шестоугла: \( r = a \). Троугао \( FOE \) је једнакостраничан, а \( EG \) је његова висина, па користимо формулу за висину једнакостраничног троугла: \[ \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6 \] \[ a\sqrt{3} = 12 \] \[ a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = \frac{\cancel{12}^{4}\sqrt{3}}{\cancel{3}_1} = 4\sqrt{3}\,cm \] \[ r = a = 4\sqrt{3}\,cm \]Корак 3: Рачунамо површину кружног исечка
Свака страница шестоугла одговара централном углу \( 360^\circ : 6 = 60^\circ \). Површина кружног исечка је \( P_i = \frac{r^2\pi \cdot \alpha}{360^\circ} \), а \( r^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 \): \[ P_i = \frac{48\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\cancel{48}^{8}\pi}{\cancel{6}_1} = 8\pi\,cm^2 \]Корак 4: Рачунамо површину једнакостраничног троугла
Троугао \( FOE \) има основицу \( FO = a = 4\sqrt{3}\,cm \) и висину \( EG = 6\,cm \): \[ P_{\triangle} = \frac{a \cdot EG}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \cancel{6}^{3}}{\cancel{2}_1} = 12\sqrt{3}\,cm^2 \]Корак 5: Рачунамо површину једног кружног одсечка
Кружни одсечак над тетивом \( EF \) добијамо када од исечка \( FOE \) одузмемо троугао \( FOE \): \[ P_o = P_i - P_{\triangle} = (8\pi - 12\sqrt{3})\,cm^2 \]Корак 6: Рачунамо површину осенченог дела
Осенчена су два подударна одсечка, над тетивама \( EF \) и \( ED \), јер је \( EF = ED = a \): \[ P = 2 \cdot P_o = 2 \cdot (8\pi - 12\sqrt{3}) = (16\pi - 24\sqrt{3})\,cm^2 \] Површина осенченог дела круга је \( (16\pi - 24\sqrt{3})\,cm^2 \).Кратак запис решења:
\( \frac{a\sqrt{3}}{2} = 6 \Rightarrow a = r = 4\sqrt{3}\,cm \)
\( P = 2 \cdot \left( \frac{48\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ} - \frac{4\sqrt{3} \cdot 6}{2} \right) = 2 \cdot (8\pi - 12\sqrt{3}) = (16\pi - 24\sqrt{3})\,cm^2 \)
