Завршни испит 2025 - математика - решења

Question 1

Задатак 1 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 1, страна 3
Вредност једног подеока
На бројевној правој означени су бројеви $ -1 $, $ 0 $ и $ 1 $. Дуж од $ 0 $ до $ 1 $ подељена је на $ 10 $ једнаких делова, па један подеок износи:
$$ 1 : 10 = 0{,}1 $$
Исто важи и за дуж од $ -1 $ до $ 0 $.

Број означен словом $ A $
Тачка $ A $ је два подеока лево од нуле, па је:
$$ A = 0 - 2 \cdot 0{,}1 = -0{,}2 $$

Број означен словом $ B $
Тачка $ B $ је шест подеока десно од нуле, па је:
\[ B...

Question 2

Задатак 2 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 2, страна 3
Број једнаких делова целине
Фигура је подељена на $ 3 $ реда по $ 4 $ једнака квадратића, односно на
$$ 3 \cdot 4 = 12 $$
једнаких делова. То је именилац разломка.

Број осенчених делова
У горњем реду осенчен је $ 1 $ квадратић, а у средњем и у доњем реду по $ 2 $ квадратића:
$$ 1 + 2 + 2 = 5 $$
То је бројилац разломка.

Разломак
$$ \frac{5}{12} $$
Разломак се не може скратити, јер бројеви $ 5 $ и $ 12 $ немају заједнички делилац већи...

Question 3

Задатак 3 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 3, страна 3
Степени које користимо
У сваком изразу прво израчунавамо степен, а затим сабирамо или одузимамо.
Квадрат броја $ 3 $ и куб броја $ -2 $ (непаран степен негативног броја је негативан):
$$ 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 $$
$$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8 $$

$ 3^2 - 2 $
$$ 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7 $$
Бојимо кружић у колони $ 7 $.

$ (-2)^3 - 3 $
$$ (-2)^3 - 3 = -8 - 3 = -11 $$
Бојимо кружић у колони $ -11 $.

$ 3^2 + 2 $
\[...

Question 4

Задатак 4 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 4, страна 4
Збир $ A + B $
Мономи $ A $ и $ B $ су слични (имају исти део са променљивим $ a^2b^2 $), па сабирамо само коефицијенте:
$$ A + B = -7a^2b^2 + 8a^2b^2 = (-7 + 8)a^2b^2 = a^2b^2 $$
Збир је $ a^2b^2 $, па ниједна од две понуђене једнакости за $ A + B $ није тачна.

Разлика $ A - B $
$$ A - B = -7a^2b^2 - 8a^2b^2 = (-7 - 8)a^2b^2 = -15a^2b^2 $$
Једнакост за разлику је тачна.

Производ $ A \cdot B $
Множимо коефицијенте, а степене ист...

Question 5

Задатак 5 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 5, страна 4
Цртеж
Нацртати правоугаоник ABCD (A доле лево, B доле десно, C горе десно, D горе лево), тако да је вертикална страница дужа од хоризонталне. Доњу страницу AB означити са 40 m, а десну страницу BC са 50 m. Повући дијагоналу AC и означити је са d. Код темена B означити прав угао. Осенчити правоугли троугао ABC.

Постављање Питагорине теореме
Најкраће растојање између две наспрамне заставице је дијагонала $ d $ правоугаоника.
Дијагонала и две сус...

Question 6

Задатак 6 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 6, страна 5
Формула за површину круга
Површина круга полупречника $ r $ рачуна се по формули:
$$ P = r^2\pi $$

Замена вредности
Полупречник је $ r = 18\ \text{dm} $, па је:
$$ P = (18\ \text{dm})^2 \cdot \pi = 18 \cdot 18 \cdot \pi\ \text{dm}^2 = 324\pi\ \text{dm}^2 $$
Пазимо да полупречник квадрирамо, а не да га множимо са $ 2 $ (тако бисмо добили пречник).

Одговор
Површина круга је $ 324\pi\ \text{dm}^2 $, па бојимо пети кружић (лево, у трећем ре...

Question 7

Задатак 7 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 7, страна 5
Износ по врстама новчаница
За сваку врсту новчанице множимо број новчаница вредношћу једне новчанице (у динарима):
$$ 90 \cdot 1\,000 = 90\,000 $$
$$ 8 \cdot 500 = 4\,000 $$
$$ 6 \cdot 200 = 1\,200 $$
$$ 10 \cdot 50 = 500 $$
$$ 10 \cdot 10 = 100 $$

Укупан износ
Сабирамо добијене износе:
$$ 90\,000 + 4\,000 + 1\,200 + 500 + 100 = 94\,000 + 1\,200 + 600 = 95\,800 $$

Одговор
Магдалена је потрошила $ 95\,800 $ динара, па бојимо трећи кружић.

Question 8

Задатак 8 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 8, страна 6
Како читамо координате
У запису $ T(x, y) $ прва координата $ x $ (апсциса) показује колико се од почетка $ O $ померамо удесно,
а друга координата $ y $ (ордината) колико се затим померамо навише.

Поређење тачака
Читамо координате тачака са Андријиног цртежа и поредимо их са задатим координатама:
- $ A $: на цртежу је $ (1, 2) $, а треба $ (2, 1) $; координате су замениле места, нетачно.
- $ B $: на цртежу је $ (5, 3) $, тачно...

Question 9

Задатак 9 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 9, страна 6
Читање табеле
Посматрамо само колону табеле за релативну влажност ваздуха од $ 40\,\% $
и за сваку температуру читамо какав осећај приказује сличица лица:
- $ 18\,^\circ\text{C} $: неутрално лице, непријатно;
- $ 20\,^\circ\text{C} $: насмејано лице, пријатно;
- $ 22\,^\circ\text{C} $: насмејано лице, пријатно;
- $ 24\,^\circ\text{C} $: неутрално лице, непријатно;
- $ 26\,^\circ\text{C} $: неутрално лице, непријатно.

Одговор
При влаж...

Question 10

Задатак 10 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 10, страна 7
Шта поредимо
Сви су шутирали једнак број бацања, па је најуспешнији онај ко је погодио највећи део бацања.
Дамир је погодио свако друго бацање, односно половину бацања, $ \frac{1}{2} $.
Поредимо бројеве $ \frac{3}{4} $, $ \frac{2}{3} $, $ 70\,\% $ и $ \frac{1}{2} $.

Проценат као разломак
$$ 70\,\% = \frac{70}{100} = \frac{\cancel{70}^{7}}{\cancel{100}_{10}} = \frac{7}{10} $$

Свођење на заједнички именилац
Најмањи заједнички садржалац...

Question 11

Задатак 11 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 11, страна 7
Сређивање прве једначине
Ослобађамо се заграде (минус испред заграде мења знаке сабирака у њој):
$$ x + 2y + 3{,}7 = 2y - x - 1{,}3 $$
Сабирак $ 2y $ налази се на обе стране једначине, па га скраћујемо:
$$ x + \cancel{2y} + 3{,}7 = \cancel{2y} - x - 1{,}3 $$
Непознате пребацујемо на леву, а познате на десну страну:
$$ x + x = -1{,}3 - 3{,}7 $$
$$ 2x = -5 $$
$$ x = -5 : 2 = -2{,}5 $$

Сређивање друге једначине
\[ 2 \cdot (x - y) - 0{,}45y = y -...

Question 12

Задатак 12 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 12, страна 7
Сваки израз сводимо на нормални облик и тражимо колону са истим полиномом.

$ (12x^2 - 1) + (-3 + 12x - 3x^2) $
Ослобађање од заграда и сабирање сличних монома
Испред заграда је знак плус, па знаци сабирака остају исти:
$$ (12x^2 - 1) + (-3 + 12x - 3x^2) = 12x^2 - 1 - 3 + 12x - 3x^2 = $$
$$ = (12x^2 - 3x^2) + 12x + (-1 - 3) = 9x^2 + 12x - 4 $$
Бојимо кружић у колони $ 9x^2 + 12x - 4 $.

$ (3x - 1) \cdot (1 + 3x) $
Разлика квадрата
Због ком...

Question 13

Задатак 13 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 13, страна 7
Угао $ \alpha $
Угао $ \alpha $ је горе десно, а угао $ \beta $ горе лево од пресечне тачке правих.
Углови $ \alpha $ и $ \beta $ имају заједнички крак (горњи део вертикалне праве), а друга два крака им леже на истој, косој правој.
Зато су $ \alpha $ и $ \beta $ упоредни углови, а збир упоредних углова је $ 180^\circ $:
$$ \alpha + \beta = 180^\circ $$
$$ \alpha = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ $$

Угао $ \gamma $
Угао \( \ga...

Question 14

Задатак 14 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 14, страна 8
Цртеж
Нацртати коцку ивице 6 cm у косој пројекцији. Код сваког од њених 8 темена нацртати по једну малу коцку ивице 2 cm (осенчено или испрекиданим линијама), којој је једно теме уједно и теме велике коцке, а три ивице леже на ивицама велике коцке. Те мале коцке се исецају. Означити дужину ивице велике коцке 6 cm и дужину ивице једне мале коцке 2 cm.

Запремина почетне коцке
Запремина коцке ивице $ a $ рачуна се по формули $ V = a^3 $. За \(...

Question 15

Задатак 15 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 15, страна 8
Оса симетрије
Лево од симбола $ : $ семафор приказује број $ 82 $.
Права кроз тачке симбола $ : $ је вертикална и налази се између броја домаће и броја гостујуће екипе.
Пошто је резултат осносиметричан у односу на ту праву, десна страна семафора је огледалска слика леве стране.

Пресликавање цифара
При осној симетрији свака тачка прелази на другу страну осе, на исто растојање од ње. Зато се редослед цифара обрће:
- цифра $ 2 $, која је о...

Question 16

Задатак 16 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 16, страна 8
Вредност једног евра у динарима
За $ 82 $ евра банка је са рачуна скинула $ 9\,676 $ динара, па је један евро коштао:
$$ 9\,676 : 82 = 118 $$
динара. Проверавамо множењем:
$$ 82 \cdot 118 = 82 \cdot 100 + 82 \cdot 18 = 8\,200 + 1\,476 = 9\,676 $$

Цена ручка у динарима
Износ у динарима је правопропорционалан износу у еврима, па ручак од $ 55 $ евра кошта:
$$ 55 \cdot 118 = 55 \cdot 100 + 55 \cdot 18 = 5\,500 + 990 = 6\,490 $$
динара.

Одго...

Question 17

Задатак 17 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 17, страна 9
Израз под кореном садржи двојни разломак. Посебно рачунамо његов бројилац и његов именилац, затим их делимо, и на крају коренујемо.

Бројилац двојног разломка
Децимални број $ 1{,}5 $ уклањамо проширивањем са $ 10 $, а затим скраћујемо са $ 5 $:
$$ \frac{2}{1{,}5} = \frac{20}{15} = \frac{\cancel{20}^{4}}{\cancel{15}_{3}} = \frac{4}{3} $$
$$ -4 + \frac{4}{3} = -\frac{12}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{8}{3} $$

Именилац двојног разломка
Записује...

Question 18

Задатак 18 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 9
Површина терена пре реновирања
Терен је био квадрат. Дужину његове странице означавамо са $ a $ (у метрима). Површина квадрата рачуна се по формули $ P = a^2 $, па је:
$$ P_1 = a^2 $$

Површина терена после реновирања
После реновирања терен је правоугаоник: дужина му је $ a + 3 $, а ширина $ a - 3 $ (при томе је $ a > 3 $).
Површина правоугаоника рачуна се по формули $ P = a \cdot b $. Производ збира и разлике истих чланова једнак је...

Question 19

Задатак 19 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
Подаци са омотача
Омотач се састоји од шест подударних једнакокраких троуглова. Њихове основице су ивице основе пирамиде, $ a = 10\ \text{cm} $, а краци су бочне ивице пирамиде, $ s = 13\ \text{cm} $.

Цртеж
Нацртати правилну шестострану пирамиду ABCDEFS у косој пројекцији: основа је правилан шестоугао ABCDEF, врх је S, а невидљиве ивице нацртати испрекиданим линијама. Означити центар основе O и повући висину пирамиде SO, означену са H, нор...

Question 20

Задатак 20 - Завршни испит 2025, математика

Accepted Answer

Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10
Нова цена у процентима
Цену чоколаде прошлог јуна означавамо са $ x $ и она представља $ 100\% $. Поскупљење од $ 60\% $ рачуна се од старе цене, а не од $ 200 $ динара. Зато нова цена износи:
$$ 100\% + 60\% = 160\% $$
старе цене, а то је $ 200 $ динара.

Постављамо и решавамо једначину
$$ \frac{160}{100} \cdot x = 200 $$
Скраћујемо разломак са $ 20 $:
$$ \frac{\cancel{160}^{8}}{\cancel{100}_{5}} \cdot x = 200 $$
\[ \frac{8}{5} \cd...

3. Завршни испит 2025 - математика - решења

Изабери решење задатка:

Цртеж

Запремина почетне коцке

Запремина исечених коцки

Запремина добијеног тела

Кратак запис решења:

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста