Решења свих 20 задатака из математике са завршног испита 2025, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 19
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
\( a = 10\ \text{cm} \) - основна ивица, \( s = 13\ \text{cm} \) - бочна ивица
\( R = OA = a = 10\ \text{cm} \) - растојање од центра основе до темена
\( B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\cancel{6}^{3} \cdot 100\sqrt{3}}{\cancel{4}_{2}} = \frac{300\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \)
\( \triangle SOA: H^2 = s^2 - R^2 = 13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69 \), \( H = \sqrt{69}\ \text{cm} \)
\( V = \frac{1}{3} B \cdot H \)
\( V = \frac{1}{\cancel{3}_{1}} \cdot \cancel{150}^{50}\sqrt{3} \cdot \sqrt{69} = 50\sqrt{207} = 50\sqrt{9 \cdot 23} = \)
\( = 50 \cdot 3\sqrt{23} = 150\sqrt{23}\ \text{cm}^3 \)
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10
Нацртати правилну шестострану пирамиду ABCDEFS у косој пројекцији: основа је правилан шестоугао ABCDEF, врх је S, а невидљиве ивице нацртати испрекиданим линијама. Означити центар основе O и повући висину пирамиде SO, означену са H, нормалну на основу. Повући дуж OA од центра основе до темена A и означити је са R = 10 cm. Означити ивицу основе AB = a = 10 cm и бочну ивицу SA = s = 13 cm. Осенчити правоугли троугао SOA и означити прави угао код темена O.
Подаци са омотача
Омотач се састоји од шест подударних једнакокраких троуглова. Њихове основице су ивице основе пирамиде, \( a = 10\ \text{cm} \), а краци су бочне ивице пирамиде, \( s = 13\ \text{cm} \).Цртеж
Нацртати правилну шестострану пирамиду ABCDEFS у косој пројекцији: основа је правилан шестоугао ABCDEF, врх је S, а невидљиве ивице нацртати испрекиданим линијама. Означити центар основе O и повући висину пирамиде SO, означену са H, нормалну на основу. Повући дуж OA од центра основе до темена A и означити је са R = 10 cm. Означити ивицу основе AB = a = 10 cm и бочну ивицу SA = s = 13 cm. Осенчити правоугли троугао SOA и означити прави угао код темена O.
Површина основе
Основа је правилан шестоугао, који се састоји од шест једнакостраничних троуглова странице \( a \): \[ B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\cancel{6}^{3} \cdot 10^2\sqrt{3}}{\cancel{4}_{2}} = \frac{3 \cdot 100\sqrt{3}}{2} \] \[ B = \frac{3 \cdot \cancel{100}^{50}\sqrt{3}}{\cancel{2}_{1}} = 150\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \]Висина пирамиде
Шест једнакостраничних троуглова основе имају заједничко теме у центру \( O \), па је растојање од центра до сваког темена основе једнако ивици основе: \[ R = OA = a = 10\ \text{cm} \] Висина \( H = SO \), дуж \( R = OA \) и бочна ивица \( s = SA \) граде правоугли троугао \( SOA \) са правим углом код темена \( O \). Примењујемо Питагорину теорему: \[ H^2 = s^2 - R^2 = 13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69 \] \[ H = \sqrt{69}\ \text{cm} \]Запремина пирамиде
Запремину пирамиде рачунамо по формули \( V = \frac{1}{3} B \cdot H \): \[ V = \frac{1}{\cancel{3}_{1}} \cdot \cancel{150}^{50}\sqrt{3} \cdot \sqrt{69} = 50\sqrt{3 \cdot 69} = 50\sqrt{207} \] Растављамо \( 207 = 9 \cdot 23 \) и извлачимо \( \sqrt{9} = 3 \) испред корена: \[ V = 50\sqrt{9 \cdot 23} = 50 \cdot 3\sqrt{23} = 150\sqrt{23}\ \text{cm}^3 \] Запремина пирамиде је \( 150\sqrt{23}\ \text{cm}^3 \).Кратак запис решења:
\( B = 6 \cdot \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{600\sqrt{3}}{4} = 150\sqrt{3}\ \text{cm}^2 \)
\( H = \sqrt{13^2 - 10^2} = \sqrt{169 - 100} = \sqrt{69}\ \text{cm} \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 150\sqrt{3} \cdot \sqrt{69} = 50\sqrt{207} = 50 \cdot 3\sqrt{23} = 150\sqrt{23}\ \text{cm}^3 \)
