3. Завршни испит 2025 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 5, страна 4

Цртеж

Нацртати правоугаоник ABCD (A доле лево, B доле десно, C горе десно, D горе лево), тако да је вертикална страница дужа од хоризонталне. Доњу страницу AB означити са 40 m, а десну страницу BC са 50 m. Повући дијагоналу AC и означити је са d. Код темена B означити прав угао. Осенчити правоугли троугао ABC.

Постављање Питагорине теореме

Најкраће растојање између две наспрамне заставице је дијагонала \( d \) правоугаоника. Дијагонала и две суседне странице \( a = 40\ \text{m} \) и \( b = 50\ \text{m} \) граде правоугли троугао. У њему су странице катете, а дијагонала \( d \) хипотенуза, па по Питагориној теореми важи: \[ d^2 = a^2 + b^2 \]

Израчунавање дијагонале

\[ d^2 = (40\ \text{m})^2 + (50\ \text{m})^2 = 1\,600\ \text{m}^2 + 2\,500\ \text{m}^2 = 4\,100\ \text{m}^2 \] \[ d = \sqrt{4\,100\ \text{m}^2} = \sqrt{100 \cdot 41}\ \text{m} = 10\sqrt{41}\ \text{m} \]

Провера решења ученика

- Богдан је само сабрао дужине страница, без Питагорине теореме, па није у праву. - Вук није квадрирао бројеве \( 40 \) и \( 50 \), него само мерне јединице, па није у праву. - Наташа је квадрате страница одузела уместо да их сабере (тако се рачуна катета, а не хипотенуза), па није у праву. - Александра је правилно применила Питагорину теорему и добила \( d^2 = 4\,100\ \text{m}^2 \), као и ми.

Одговор

Растојање \( d \) тачно је израчунала Александра, па бојимо четврти кружић.

\( d^2 = 40^2 + 50^2 = 1\,600 + 2\,500 = 4\,100 \) \( d = \sqrt{4\,100} = 10\sqrt{41}\ \text{m} \) Александра (четврти кружић).