Решења свих 20 задатака из математике са завршног испита 2022, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 13
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 13, страна 7
\( M = d \cap a \), \( N = c \cap a \), \( K = c \cap d \)
\( \sphericalangle MNK = 17^\circ \) (унакрсни углови)
\( \sphericalangle MKN = 90^\circ \) (\( c \perp d \))
\( \beta = \sphericalangle NMK = 180^\circ - 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ \)
\( x = \sphericalangle NMK = 73^\circ \) (унакрсни углови)
Тачан одговор: други кружић, \( x = 73^\circ \).
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 13, страна 7
Нацртати водоравну праву a и на њој означити тачку M (лево) и тачку N (десно). Кроз тачку N нацртати косу праву c која расте слева надесно и са правом a гради оштар угао од 17°; тај угао означити лучићем између дела праве a десно од N и дела праве c изнад праве a и написати 17°. Кроз тачку M нацртати праву d нормалну на праву c: права d пада слева надесно и сече праву c у тачки K испод праве a; у тачки K означити прав угао. У тачки M лучићем означити угао x између дела праве a лево од M и дела праве d изнад праве a. Осенчити троугао MNK (испод праве a) и у њему означити угао код N са 17°, угао код K са 90°, а угао код M са β.
Цртеж
Нацртати водоравну праву a и на њој означити тачку M (лево) и тачку N (десно). Кроз тачку N нацртати косу праву c која расте слева надесно и са правом a гради оштар угао од 17°; тај угао означити лучићем између дела праве a десно од N и дела праве c изнад праве a и написати 17°. Кроз тачку M нацртати праву d нормалну на праву c: права d пада слева надесно и сече праву c у тачки K испод праве a; у тачки K означити прав угао. У тачки M лучићем означити угао x између дела праве a лево од M и дела праве d изнад праве a. Осенчити троугао MNK (испод праве a) и у њему означити угао код N са 17°, угао код K са 90°, а угао код M са β.
Уочавамо троугао
Нека је \( M \) пресек правих \( d \) и \( a \), \( N \) пресек правих \( c \) и \( a \), а \( K \) пресек правих \( c \) и \( d \). Тачке \( M \), \( N \) и \( K \) су темена троугла \( MNK \).Углови троугла код темена N и K
Дати угао од \( 17^\circ \) и угао \( \sphericalangle MNK \) имају заједничко теме \( N \), а кракови једног су продужеци кракова другог. То су унакрсни углови, па су једнаки: \[ \sphericalangle MNK = 17^\circ \] Праве \( c \) и \( d \) су нормалне, па је: \[ \sphericalangle MKN = 90^\circ \]Трећи угао троугла
Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \), па је: \[ \beta = \sphericalangle NMK = 180^\circ - 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ \]Угао x
Угао \( x \) и угао \( \sphericalangle NMK \) имају заједничко теме \( M \), а кракови једног су продужеци кракова другог (део праве \( a \) лево и десно од \( M \), део праве \( d \) изнад и испод праве \( a \)). То су унакрсни углови, па је: \[ x = \sphericalangle NMK = 73^\circ \]Избор одговора
Бојимо други кружић, испред \( x = 73^\circ \).Кратак запис решења:
\( x = \sphericalangle NMK = 180^\circ - 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ \) - други кружић
