9. Завршни испит 2022 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 10

Цртеж

Нацртати квадрат странице 4 m. У квадрат уписати круг који додирује све четири странице квадрата; означити центар круга O, нацртати водоравни пречник круга и написати да је једнак страници квадрата (4 m). У круг уписати једнакостранични троугао ABC: теме C је у највишој тачки круга, а страница AB је водоравна, доле; сва три темена леже на кружници. Нацртати висину CD троугла (D је средиште странице AB); она пролази кроз центар O. Дуж OC означити са r = 2 m, а страницу AB са a.

Полупречник највећег могућег круга

Лого је круг у који је уписан троугао, па је лого највећи када је његов круг највећи круг који стаје у квадрат. То је круг уписан у квадрат: пречник му је једнак страници квадрата. \[ 2r = 4 \text{ m} \Rightarrow r = 4 \text{ m} : 2 = 2 \text{ m} \]

Веза полупречника и странице троугла

Круг је описан око једнакостраничног троугла. Код једнакостраничног троугла центар описаног круга је у тежишту, које дели висину у односу \( 2 : 1 \), па је полупречник једнак \( \frac{2}{3} \) висине. Висина једнакостраничног троугла странице \( a \) је \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), па је: \[ r = \frac{2}{3}h = \frac{\cancel{2}}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]

Израчунавање странице троугла

Замењујемо \( r = 2 \) m и решавамо једначину: \[ \frac{a\sqrt{3}}{3} = 2 \] \[ a\sqrt{3} = 6 \] \[ a = \frac{6}{\sqrt{3}} \] Рационалишемо именилац (множимо бројилац и именилац са \( \sqrt{3} \)) и скраћујемо: \[ a = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = \frac{\cancel{6}^{2}\sqrt{3}}{\cancel{3}_{1}} = 2\sqrt{3} \text{ m} \] Страница троугла треба да буде \( 2\sqrt{3} \) m.

\( r = 4 : 2 = 2 \) m; \( r = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = 2 \) \( a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) m