Решења свих 20 задатака из математике са завршног испита 2022, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 6
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 6, страна 4
\( P_1, \dots, P_5 \) - површине фигура (број јединичних квадрата)
\( P_1 = 6 - 1 = 5 \); \( P_2 = 3 + 1 = 4 \); \( P_3 = 9 - 1 = 8 \); \( P_4 = 6 - 1 = 5 \); \( P_5 = 6 + 1 = 7 \)
\( P_1 = P_4 = 5 \)
1. и 4. фигура: правоугаоник \( 2 \times 3 \) без угаоног квадрата; ротацијом за \( 180^\circ \) прва фигура прелази у четврту \( \Rightarrow \) подударне су.
Тачан одговор: први и четврти кружић.
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 6, страна 4
Нацртати квадратну мрежу тачака (растојање суседних тачака је 1) и на њој две фигуре једну поред друге, обе обојене истом бојом. Лева фигура (испод ње написати „1. слика”): правоугаоник ширине 2 и висине 3 из којег је изостављен горњи десни јединични квадрат, тј. леви стубац од 3 квадрата и десни стубац од 2 доња квадрата. Десна фигура (испод ње написати „4. слика”): правоугаоник ширине 2 и висине 3 из којег је изостављен доњи леви јединични квадрат, тј. десни стубац од 3 квадрата и леви стубац од 2 горња квадрата. Изостављене квадрате нацртати испрекиданом линијом. Између фигура нацртати закривљену стрелицу од леве ка десној фигури и поред ње написати „ротација за 180°”.
Подударне фигуре имају једнаке површине
Подударне фигуре се могу тачно преклопити (транслацијом, ротацијом или осном симетријом), па морају имати и једнаку површину. Зато прво бројимо колико јединичних квадрата мреже (квадрата између четири суседне тачке) покрива свака фигура: - 1. слика: правоугаоник \( 2 \times 3 \) без једног угаоног квадрата: \( 6 - 1 = 5 \) - 2. слика: стубац од три квадрата и још један квадрат: \( 3 + 1 = 4 \) - 3. слика: квадрат \( 3 \times 3 \) без једног угаоног квадрата: \( 9 - 1 = 8 \) - 4. слика: правоугаоник \( 2 \times 3 \) без једног угаоног квадрата: \( 6 - 1 = 5 \) - 5. слика: правоугаоник \( 3 \times 2 \) и још један квадрат: \( 6 + 1 = 7 \) Једнаку површину (\( 5 \) квадрата) имају само фигуре на првој и четвртој слици, па само оне могу бити подударне.Цртеж
Нацртати квадратну мрежу тачака (растојање суседних тачака је 1) и на њој две фигуре једну поред друге, обе обојене истом бојом. Лева фигура (испод ње написати „1. слика”): правоугаоник ширине 2 и висине 3 из којег је изостављен горњи десни јединични квадрат, тј. леви стубац од 3 квадрата и десни стубац од 2 доња квадрата. Десна фигура (испод ње написати „4. слика”): правоугаоник ширине 2 и висине 3 из којег је изостављен доњи леви јединични квадрат, тј. десни стубац од 3 квадрата и леви стубац од 2 горња квадрата. Изостављене квадрате нацртати испрекиданом линијом. Између фигура нацртати закривљену стрелицу од леве ка десној фигури и поред ње написати „ротација за 180°”.
Провера подударности
Обе фигуре су правоугаоник \( 2 \times 3 \) коме недостаје један јединични квадрат у углу: код прве слике недостаје горњи десни, а код четврте доњи леви квадрат. Ако прву фигуру ротирамо за \( 180^\circ \) око центра правоугаоника, правоугаоник прелази сам у себе, а горњи десни угао прелази у доњи леви. Зато се ротирана прва фигура тачно поклапа са четвртом, па су ове две фигуре подударне.Избор одговора
Бојимо први и четврти кружић (испод прве и испод четврте слике).Кратак запис решења:
\( P_1 = 5 \); \( P_2 = 4 \); \( P_3 = 8 \); \( P_4 = 5 \); \( P_5 = 7 \); 1. фигура ротацијом за \( 180^\circ \) прелази у 4. - први и четврти кружић
