5. Завршни испит 2024 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 13, страна 7

Скица

Нацртај квадрат странице \( x + y \). На свакој његовој страници означи по једну тачку која страницу дели на дужи \( x \) и \( y \): на горњој страници слева надесно \( y \), па \( x \); на десној страници одозго надоле \( y \), па \( x \); на доњој страници слева надесно \( x \), па \( y \); на левој страници одозго надоле \( x \), па \( y \). Спој редом те четири тачке, тако да настане мањи квадрат уписан у велики, и осенчи га. У сваком углу великог квадрата остаје по један неосенчени правоугли троугао са катетама \( x \) и \( y \).

Површина великог квадрата

Страница великог квадрата је \( x + y \), а површину квадрата рачунамо по формули \( P = a^2 \): \[ P_1 = (x + y)^2 \]

Површина необојених троуглова

У сваком углу великог квадрата налази се правоугли троугао са катетама \( x \) и \( y \). Површина правоуглог троугла је половина производа катета: \[ P_2 = \frac{x \cdot y}{2} \] Таква четири троугла имају укупну површину: \[ 4 \cdot P_2 = \cancel{4}^{2} \cdot \frac{x \cdot y}{\cancel{2}_{1}} = 2xy \]

Површина обојеног дела

Од површине великог квадрата одузимамо површину четири троугла, а квадрат збира развијамо по формули \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \): \[ P = (x + y)^2 - 2xy = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy \] Поништавамо супротне изразе \( 2xy \) и \( -2xy \): \[ P = x^2 + \cancel{2xy} + y^2 - \cancel{2xy} = x^2 + y^2 \]

Провера помоћу Питагорине теореме

Страница обојеног квадрата је хипотенуза \( c \) сваког од четири троугла, па је \( c^2 = x^2 + y^2 \). Површина обојеног квадрата је управо \( c^2 \), тј. \( P = x^2 + y^2 \). Бојимо други кружић.

\( P = (x + y)^2 - 4 \cdot \frac{xy}{2} = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy = x^2 + y^2 \) Други кружић.