5. Завршни испит 2024 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 14, страна 7

Скица

Нацртај квадрат \( BCEF \) тако да је \( F \) горе лево, \( E \) горе десно, \( C \) доле десно и \( B \) доле лево. Лево од странице \( BF \) нацртај правоугли троугао \( ABF \) са правим углом у темену \( A \), а десно од странице \( CE \) правоугли троугао \( DEC \) са правим углом у темену \( D \). Означи дужине \( AB = 8\text{ cm} \), \( AF = 6\text{ cm} \), \( ED = 8\text{ cm} \) и \( CD = 6\text{ cm} \). Подебљај обод шестоугла \( ABCDEF \): дужи \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DE \), \( EF \) и \( FA \).

Странице шестоугла

Обим шестоугла је збир дужина свих његових страница: \[ O = AB + BC + CD + DE + EF + FA \] Дужине \( AB \), \( CD \), \( DE \) и \( FA \) су познате. Странице \( BC \) и \( EF \) су странице квадрата \( BCEF \), па су једнаке страници \( BF \), која је уједно хипотенуза правоуглог троугла \( ABF \). Дужи \( BF \) и \( CE \) налазе се унутар шестоугла, па их не рачунамо у обим.

Страница квадрата по Питагориној теореми

У правоуглом троуглу \( ABF \) катете су \( AB = 8\text{ cm} \) и \( AF = 6\text{ cm} \), а хипотенуза је \( BF \): \[ BF^2 = AB^2 + AF^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \] \[ BF = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \] Дакле, \( BC = EF = BF = 10\text{ cm} \).

Обим шестоугла

\[ O = 8\text{ cm} + 10\text{ cm} + 6\text{ cm} + 8\text{ cm} + 10\text{ cm} + 6\text{ cm} = 48\text{ cm} \] Бојимо четврти кружић.

\( BF = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \) \( O = 2 \cdot (8 + 6 + 10) = 2 \cdot 24 = 48\text{ cm} \) Четврти кружић.