Решења свих 20 задатака из математике са завршног испита 2024, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 18
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 9
\( \frac{x}{y} \) - тражени разломак (\( x \) - бројилац, \( y \) - именилац)\[ \frac{x + 3}{y + 3} = \frac{6}{7} \]\[ \frac{x - 3}{y - 3} = \frac{3}{4} \]\[ 7 \cdot (x + 3) = 6 \cdot (y + 3) \]\[ 7x + 21 = 6y + 18 \]\[ 7x - 6y = -3 \]\[ 4 \cdot (x - 3) = 3 \cdot (y - 3) \]\[ 4x - 12 = 3y - 9 \]\[ 4x - 3y = 3 \quad / \cdot (-2) \]\[ -8x + 6y = -6 \]\[ 7x - \cancel{6y} - 8x + \cancel{6y} = -3 - 6 \]\[ -x = -9 \]\[ x = 9 \]\[ 4 \cdot 9 - 3y = 3 \]\[ 36 - 3y = 3 \]\[ -3y = 3 - 36 = -33 \]\[ y = 11 \]Провера: \( \frac{9 + 3}{11 + 3} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \), \( \frac{9 - 3}{11 - 3} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 18, страна 9
Означавамо непознате
Нека је тражени разломак \( \frac{x}{y} \), где је \( x \) бројилац, а \( y \) именилац.Постављамо систем једначина
Када бројиоцу и имениоцу додамо \( 3 \), добијамо \( \frac{6}{7} \), а када од њих одузмемо \( 3 \), добијамо \( \frac{3}{4} \): \[ \frac{x + 3}{y + 3} = \frac{6}{7} \] \[ \frac{x - 3}{y - 3} = \frac{3}{4} \]Ослобађамо се разломака
Свака једначина је пропорција, па је производ спољашњих чланова једнак производу унутрашњих чланова. Прва једначина: \[ 7 \cdot (x + 3) = 6 \cdot (y + 3) \] \[ 7x + 21 = 6y + 18 \] \[ 7x - 6y = 18 - 21 \] \[ 7x - 6y = -3 \] Друга једначина: \[ 4 \cdot (x - 3) = 3 \cdot (y - 3) \] \[ 4x - 12 = 3y - 9 \] \[ 4x - 3y = -9 + 12 \] \[ 4x - 3y = 3 \]Решавамо систем методом супротних коефицијената
Другу једначину множимо са \( -2 \), да би коефицијенти уз \( y \) били супротни бројеви: \[ -8x + 6y = -6 \] Сабирамо је са првом једначином и поништавамо супротне изразе \( -6y \) и \( 6y \): \[ 7x - \cancel{6y} - 8x + \cancel{6y} = -3 - 6 \] \[ -x = -9 \] \[ x = 9 \] Вредност \( x = 9 \) замењујемо у једначину \( 4x - 3y = 3 \): \[ 4 \cdot 9 - 3y = 3 \] \[ 36 - 3y = 3 \] \[ -3y = 3 - 36 \] \[ -3y = -33 \] \[ y = -33 : (-3) = 11 \]Провера
\[ \frac{9 + 3}{11 + 3} = \frac{12}{14} = \frac{\cancel{12}^{6}}{\cancel{14}_{7}} = \frac{6}{7} \] \[ \frac{9 - 3}{11 - 3} = \frac{6}{8} = \frac{\cancel{6}^{3}}{\cancel{8}_{4}} = \frac{3}{4} \] Оба услова су испуњена, па је тражени разломак \( \frac{9}{11} \).Кратак запис решења:
\( 7(x + 3) = 6(y + 3) \Rightarrow 7x - 6y = -3 \)
\( 4(x - 3) = 3(y - 3) \Rightarrow 4x - 3y = 3 \Rightarrow -8x + 6y = -6 \)
\( -x = -9 \Rightarrow x = 9 \)
\( 36 - 3y = 3 \Rightarrow -3y = -33 \Rightarrow y = 11 \)
\( \frac{9}{11} \)
