5. Завршни испит 2024 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10

Скица

Нацртај мрежу омотача две купе: два кружна исечка који се додирују у једној тачки својих лукова. Горњи исечак има полупречник \( s_1 = 20\text{ cm} \) и централни угао \( 216^\circ \), а доњи исечак има непознати полупречник \( s_2 \) и централни угао \( 288^\circ \). Означи полупречнике \( s_1 \) и \( s_2 \) и оба централна угла. Поред сваког лука напиши да је његова дужина једнака обиму основе \( 2r\pi \).
Нацртај осни пресек тела: хоризонталну дуж (пречник заједничке основе) са средиштем \( O \) и крајевима \( M \) и \( N \), тачку \( V_1 \) изнад тачке \( O \) и тачку \( V_2 \) испод тачке \( O \), тако да је \( OV_1 \) дуже од \( OV_2 \). Спој \( V_1 \) са \( M \) и \( N \) и \( V_2 \) са \( M \) и \( N \). Испрекиданом линијом нацртај дуж \( V_1V_2 \) (осу тела). Означи \( OM = r \), \( V_1M = s_1 = 20\text{ cm} \), \( V_2M = s_2 \), \( OV_1 = H_1 \) и \( OV_2 = H_2 \), и прав угао код темена \( O \).

Полупречник основе

Омотач купе развијен у раван је кружни исечак чији је полупречник изводница \( s \), а дужина лука једнака обиму основе \( 2r\pi \). Дужина лука исечка са централним углом \( \alpha \) је \( \frac{2s\pi \cdot \alpha}{360^\circ} \), па је: \[ 2r\pi = \frac{2s\pi \cdot \alpha}{360^\circ} \] Обе стране делимо са \( 2\pi \): \[ r = s \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \] За горњу купу је \( s_1 = 20\text{ cm} \) и \( \alpha_1 = 216^\circ \). Разломак скраћујемо са \( 72 \), а затим \( 20 \) и \( 5 \) са \( 5 \): \[ r = 20 \cdot \frac{\cancel{216}^{3}}{\cancel{360}_{5}} = \frac{\cancel{20}^{4} \cdot 3}{\cancel{5}_{1}} = 4 \cdot 3 = 12\text{ cm} \]

Изводница доње купе

Доња купа има исту основу, па је и њен полупречник \( r = 12\text{ cm} \), а централни угао њеног исечка је \( \alpha_2 = 288^\circ \): \[ 12 = s_2 \cdot \frac{\cancel{288}^{4}}{\cancel{360}_{5}} \] \[ 12 = s_2 \cdot \frac{4}{5} \] \[ s_2 = 12 : \frac{4}{5} = 12 \cdot \frac{5}{4} = \frac{\cancel{12}^{3} \cdot 5}{\cancel{4}_{1}} = 15\text{ cm} \]

Висине купа

Висина \( H \), полупречник основе \( r \) и изводница \( s \) граде правоугли троугао у коме је \( s \) хипотенуза, па по Питагориној теореми важи \( H^2 = s^2 - r^2 \). Горња купа: \[ H_1^2 = s_1^2 - r^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256 \] \[ H_1 = \sqrt{256} = 16\text{ cm} \] Доња купа: \[ H_2^2 = s_2^2 - r^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \] \[ H_2 = \sqrt{81} = 9\text{ cm} \]

Запремина тела

Запремина купе је \( V = \frac{1}{3} B H \), где је \( B = r^2\pi \). Обе купе имају исту основу, па заједнички чинилац \( \frac{1}{3} r^2\pi \) издвајамо испред заграде: \[ V = \frac{1}{3} r^2\pi H_1 + \frac{1}{3} r^2\pi H_2 = \frac{1}{3} r^2\pi \cdot (H_1 + H_2) \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot 12^2\pi \cdot (16 + 9) = \frac{1}{\cancel{3}_{1}} \cdot \cancel{144}^{48}\pi \cdot 25 \] \[ V = 48 \cdot 25\pi = 1\,200\pi\text{ cm}^3 \] Запремина тела је \( 1\,200\pi\text{ cm}^3 \).

\( r = 20 \cdot \frac{216}{360} = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12\text{ cm} \) \( s_2 = 12 \cdot \frac{360}{288} = 12 \cdot \frac{5}{4} = 15\text{ cm} \) \( H_1 = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\text{ cm} \), \( H_2 = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\text{ cm} \) \( V = \frac{1}{3} \cdot 144\pi \cdot (16 + 9) = 48\pi \cdot 25 = 1\,200\pi\text{ cm}^3 \)