5. Завршни испит 2024 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 16, страна 8

Скица

Нацртај правоугли координатни систем са мрежом квадратића, на обе осе од \( -5 \) до \( 5 \). Нацртај троугао \( ABC \) са теменима \( A(-2, 4) \), \( B(-4, 3) \), \( C(-1, 2) \). Испрекиданим линијама нацртај троугао \( A_1B_1C_1 \) са теменима \( A_1(2, 4) \), \( B_1(4, 3) \), \( C_1(1, 2) \) (слика троугла \( ABC \) при осној симетрији у односу на \( y \)-осу). Пуним подебљаним линијама нацртај троугао \( A_2B_2C_2 \) са теменима \( A_2(2, -4) \), \( B_2(4, -3) \), \( C_2(1, -2) \) (слика троугла \( A_1B_1C_1 \) при осној симетрији у односу на \( x \)-осу). Означи сва темена и њихове координате.

Координате темена троугла \( ABC \)

Са координатне мреже читамо темена датог троугла: \[ A(-2, 4), \quad B(-4, 3), \quad C(-1, 2) \]

Осна симетрија у односу на \( y \)-осу

При осној симетрији у односу на \( y \)-осу тачка остаје на истој висини, а прелази на супротну страну \( y \)-осе на исто растојање. Зато прва координата мења знак, а друга остаје иста: \[ (x, y) \rightarrow (-x, y) \] \[ A(-2, 4) \rightarrow A_1(2, 4) \] \[ B(-4, 3) \rightarrow B_1(4, 3) \] \[ C(-1, 2) \rightarrow C_1(1, 2) \]

Осна симетрија у односу на \( x \)-осу

При осној симетрији у односу на \( x \)-осу прва координата остаје иста, а друга мења знак: \[ (x, y) \rightarrow (x, -y) \] \[ A_1(2, 4) \rightarrow A_2(2, -4) \] \[ B_1(4, 3) \rightarrow B_2(4, -3) \] \[ C_1(1, 2) \rightarrow C_2(1, -2) \] Обе координате су промениле знак, што значи да је троугао \( A_2B_2C_2 \) централно симетричан троуглу \( ABC \) у односу на координатни почетак.

Избор координатног система

Тражимо координатни систем у коме је теме \( C_2 \) у тачки \( (1, -2) \), теме \( B_2 \) у тачки \( (4, -3) \), а теме \( A_2 \) у тачки \( (2, -4) \). Овако је троугао нацртан само у првом координатном систему (слева), па бојимо први кружић.

\( A(-2, 4) \rightarrow A_1(2, 4) \rightarrow A_2(2, -4) \) \( B(-4, 3) \rightarrow B_1(4, 3) \rightarrow B_2(4, -3) \) \( C(-1, 2) \rightarrow C_1(1, 2) \rightarrow C_2(1, -2) \) Први кружић.