5. Завршни испит 2024 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 9

Скица

Нацртај хоризонталну правоугаону траку ширине \( 2\text{ cm} \) и преко ње косу правоугаону траку непознате ширине \( h_b \). Осенчи њихов заједнички део - паралелограм. Његове хоризонталне странице \( a \) леже на ивицама хоризонталне траке, а косе странице \( b \) на ивицама косе траке. Испрекиданом линијом нацртај висину паралелограма нормалну на страницу \( a \) и означи је са \( h_a = 2\text{ cm} \). Испрекиданом линијом нацртај и висину нормалну на косу страницу \( b \) и означи је са \( h_b \). Поред цртежа напиши: \( O = 18\text{ cm} \), \( P = 10\text{ cm}^2 \).

Ширине трака су висине паралелограма

Ширина траке је растојање између њених паралелних ивица. Две странице паралелограма (означимо их са \( a \)) леже на ивицама траке ширине \( 2\text{ cm} \), па је та ширина висина паралелограма која одговара страници \( a \): \[ h_a = 2\text{ cm} \] Друге две странице (означимо их са \( b \)) леже на ивицама друге траке, па је тражена ширина друге траке висина \( h_b \) која одговара страници \( b \).

Страница \( a \)

Површину паралелограма рачунамо по формули \( P = a \cdot h_a \): \[ 10 = a \cdot 2 \] \[ a = 10 : 2 = 5\text{ cm} \]

Страница \( b \)

Обим паралелограма рачунамо по формули \( O = 2a + 2b \): \[ 18 = 2 \cdot 5 + 2b \] \[ 18 = 10 + 2b \] \[ 2b = 18 - 10 = 8 \] \[ b = 8 : 2 = 4\text{ cm} \]

Ширина друге траке

Површину паралелограма можемо израчунати и помоћу странице \( b \) и њој одговарајуће висине: \( P = b \cdot h_b \). \[ 10 = 4 \cdot h_b \] \[ h_b = 10 : 4 = 2{,}5\text{ cm} \] Ширина друге траке је \( 2{,}5\text{ cm} \), па бојимо трећи кружић.

\( a = 10 : 2 = 5\text{ cm} \) \( 2b = 18 - 2 \cdot 5 = 8 \Rightarrow b = 4\text{ cm} \) \( h_b = 10 : 4 = 2{,}5\text{ cm} \) Трећи кружић.