Решења свих 20 задатака из математике са завршног испита 2023, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 15
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 15, страна 7
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
\( \triangle BCD \): \( BD^2 = CB^2 + CD^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{7})^2 = 6 + 7 = 13 \)
\( \triangle BDE \): \( BE^2 = BD^2 + DE^2 = 13 + (\sqrt{8})^2 = 13 + 8 = 21 \)
\( \triangle BEA \): \( AB^2 = BE^2 + EA^2 = 21 + 2^2 = 21 + 4 = 25 \)
\( AB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \)
Тачан одговор: други кружић - \( 5 \text{ cm} \)
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 15, страна 7
Нацртати тачку E, из ње хоризонталну дуж EA дужине 2 cm удесно и вертикалну дуж EB нагоре; код темена E обележити прав угао (угао BEA). Лево од дужи EB нацртати тачку D тако да је DE = √8 cm и да је угао BDE прав (обележити га код D), па спојити D са B. Изнад тачке D нацртати тачку C тако да је CD = √7 cm, CB = √6 cm и да је угао BCD прав (обележити га код C), па спојити C са B. Нацртати дуж AB и обележити је као тражену. Добијају се три правоугла троугла BCD, BDE и BEA који се надовезују: хипотенуза BD првог троугла је катета другог, а хипотенуза BE другог троугла је катета трећег.
Корак 1: Цртеж
Нацртати тачку E, из ње хоризонталну дуж EA дужине 2 cm удесно и вертикалну дуж EB нагоре; код темена E обележити прав угао (угао BEA). Лево од дужи EB нацртати тачку D тако да је DE = √8 cm и да је угао BDE прав (обележити га код D), па спојити D са B. Изнад тачке D нацртати тачку C тако да је CD = √7 cm, CB = √6 cm и да је угао BCD прав (обележити га код C), па спојити C са B. Нацртати дуж AB и обележити је као тражену. Добијају се три правоугла троугла BCD, BDE и BEA који се надовезују: хипотенуза BD првог троугла је катета другог, а хипотенуза BE другог троугла је катета трећег.
Корак 2: Питагорина теорема
У правоуглом троуглу квадрат хипотенузе \( c \) једнак је збиру квадрата катета \( a \) и \( b \): \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Применићемо је редом на три правоугла троугла. Довољно је да рачунамо квадрате дужи, а корен тражимо тек на крају.Корак 3: Троугао BCD
Прав угао је код темена \( C \), па је \( BD \) хипотенуза: \[ BD^2 = CB^2 + CD^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{7})^2 = 6 + 7 = 13 \]Корак 4: Троугао BDE
Прав угао је код темена \( D \), па је \( BE \) хипотенуза: \[ BE^2 = BD^2 + DE^2 = 13 + (\sqrt{8})^2 = 13 + 8 = 21 \]Корак 5: Троугао BEA
Прав угао је код темена \( E \), па је \( AB \) хипотенуза: \[ AB^2 = BE^2 + EA^2 = 21 + 2^2 = 21 + 4 = 25 \] \[ AB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \] Дужина дужи \( AB \) је \( 5 \text{ cm} \) - бојимо други кружић.Кратак запис решења:
\( BD^2 = 6 + 7 = 13 \), \( BE^2 = 13 + 8 = 21 \), \( AB^2 = 21 + 4 = 25 \)
\( AB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \) - други кружић
