7. Завршни испит 2023 - математика - решења

Текст задатка: званични тест, задатак 20, страна 10

Корак 1: Цртеж

Нацртати усправан ваљак. O₁ је центар доње основе, O₂ центар горње основе, а дуж O₁O₂ је висина ваљка H. Обележити средиште S дужи O₁O₂. Испрекиданим линијама нацртати купу чија је основа горња основа ваљка, а врх у тачки S (купа је окренута врхом надоле). На ивици горње основе обележити тачку M и нацртати правоугли троугао SO₂M са правим углом код O₂: O₂M = r = 5 cm, SM = s = 13 cm (изводница купе), SO₂ = h (висина купе). Поред дужи O₁S такође написати h.

Корак 2: Полупречник основе

Пречник основе је \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \), па је полупречник: \[ r = 10 : 2 = 5 \text{ cm} \]

Корак 3: Висина купе

Висина купе \( h = SO_2 \), полупречник \( r \) и изводница \( s \) граде правоугли троугао \( SO_2M \) у коме је изводница хипотенуза. По Питагориној теореми: \[ s^2 = r^2 + h^2 \] \[ h^2 = s^2 - r^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]

Корак 4: Висина ваљка

Тачка \( S \) је средиште висине ваљка \( O_1O_2 \), па је \( O_1S = SO_2 = h \): \[ H = 2h = 2 \cdot 12 = 24 \text{ cm} \]

Корак 5: Запремине ваљка и купе

Ваљак и купа имају исту основу полупречника \( r = 5 \text{ cm} \): \[ V_v = r^2\pi H = 5^2\pi \cdot 24 = 25 \cdot 24\pi = 600\pi \text{ cm}^3 \] \[ V_k = \frac{1}{3} r^2\pi h = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot 25\pi \cdot \cancel{12}^4 = 100\pi \text{ cm}^3 \]

Корак 6: Запремина дела ваљка ван купе

Од запремине ваљка одузимамо запремину купе: \[ V = V_v - V_k = 600\pi - 100\pi = 500\pi \text{ cm}^3 \]

\( r = 5 \text{ cm} \), \( h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \), \( H = 24 \text{ cm} \) \( V = 25\pi \cdot 24 - \frac{1}{3} \cdot 25\pi \cdot 12 = 600\pi - 100\pi = 500\pi \text{ cm}^3 \)