Решења свих 20 задатака из математике са завршног испита 2023, корак по корак. Сваки коначан одговор проверен је према званичном кључу.
Код сваког решења је веза до стране званичног теста на којој је задатак.
Изабери решење задатка:
Задатак 19
Кратко решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 9
\( a = r = 6 \text{ cm} \)
\( P_6 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{6^2\sqrt{3}}{4} \)
\( P_6 = 6 \cdot \frac{\cancel{36}^9\sqrt{3}}{\cancel{4}_1} = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3} \text{ cm}^2 \)
\( \alpha = \frac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \)
\( P_i = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2\pi = \frac{\cancel{120^\circ}^1}{\cancel{360^\circ}_3} \cdot 36\pi \)
\( P_i = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \cancel{36}^{12}\pi = 12\pi \text{ cm}^2 \)
\( P = P_6 - 2P_i = 54\sqrt{3} - 2 \cdot 12\pi = (54\sqrt{3} - 24\pi) \text{ cm}^2 \)
Детаљно решење
Текст задатка: званични тест, задатак 19, страна 9
Нацртати правилни шестоугао ABCDEF странице 6 cm, са хоризонталном горњом страницом BC и доњом страницом EF: A је лево теме, B горње лево, C горње десно, D десно, E доње десно, F доње лево. Обележити центар O. Осенчити кружни исечак са центром у темену B и полупречником 6 cm, ограничен страницама BA и BC и луком од C до A који пролази кроз O; код B уписати угао 120°. Осенчити и кружни исечак са центром у темену E и полупречником 6 cm, ограничен страницама ED и EF и луком од F до D који пролази кроз O; код E уписати угао 120°. Два лука се додирују у тачки O. Неосенчени делови остају уз странице CD и FA. Уз једну страницу уписати 6 cm.
Корак 1: Цртеж и ознаке
Темена шестоугла означимо редом са \( A \) (лево), \( B \) (горе лево), \( C \) (горе десно), \( D \) (десно), \( E \) (доле десно) и \( F \) (доле лево), а центар шестоугла са \( O \).Нацртати правилни шестоугао ABCDEF странице 6 cm, са хоризонталном горњом страницом BC и доњом страницом EF: A је лево теме, B горње лево, C горње десно, D десно, E доње десно, F доње лево. Обележити центар O. Осенчити кружни исечак са центром у темену B и полупречником 6 cm, ограничен страницама BA и BC и луком од C до A који пролази кроз O; код B уписати угао 120°. Осенчити и кружни исечак са центром у темену E и полупречником 6 cm, ограничен страницама ED и EF и луком од F до D који пролази кроз O; код E уписати угао 120°. Два лука се додирују у тачки O. Неосенчени делови остају уз странице CD и FA. Уз једну страницу уписати 6 cm.
Корак 2: Површина шестоугла
Правилни шестоугао се састоји од \( 6 \) једнакостраничних троуглова странице \( a = 6 \text{ cm} \), а површина једнакостраничног троугла је \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \): \[ P_6 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{6^2\sqrt{3}}{4} \] \[ P_6 = 6 \cdot \frac{\cancel{36}^9\sqrt{3}}{\cancel{4}_1} = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]Корак 3: Површина осенчених исечака
Унутрашњи угао правилног шестоугла је: \[ \alpha = \frac{(6 - 2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \] Сваки осенчени део је кружни исечак полупречника \( r = a = 6 \text{ cm} \) са централним углом \( 120^\circ \). Његов лук пролази кроз центар \( O \), јер је растојање сваког темена од центра једнако страници шестоугла. Површина исечка је: \[ P_i = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot r^2\pi = \frac{\cancel{120^\circ}^1}{\cancel{360^\circ}_3} \cdot 6^2\pi \] \[ P_i = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \cancel{36}^{12}\pi = 12\pi \text{ cm}^2 \] Два исечка се не преклапају (додирују се само у тачки \( O \)), па је осенчена површина: \[ 2 \cdot P_i = 2 \cdot 12\pi = 24\pi \text{ cm}^2 \]Корак 4: Површина неосенченог дела
Од површине шестоугла одузимамо осенчену површину: \[ P = P_6 - 2P_i = 54\sqrt{3} - 24\pi = (54\sqrt{3} - 24\pi) \text{ cm}^2 \]Кратак запис решења:
\( P_6 = 6 \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3} \), \( P_i = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 36\pi = 12\pi \)
\( P = 54\sqrt{3} - 2 \cdot 12\pi = (54\sqrt{3} - 24\pi) \text{ cm}^2 \)
