Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Из корака 1–3: \( AB = AD = BD = a = 3 \) cm, па је троугао \( ABD \) једнакостранични. У кораку 4 тачка \( C \) је осна слика тачке \( A \) преко праве \( BD \); осна симетрија чува растојања и не мења тачке \( B \) и \( D \), па је \( CB = AB = a \) и \( CD = AD = a \). Дакле \[ AB = BC = CD = DA = 3\,\text{cm}, \] што значи да је \( ABCD \) ромб. Углови: \( \angle A = \angle C = 60^\circ \), \( \angle B = \angle D = 120^\circ \). Значи, Маријана је конструисала ромб.
Детаљно решење
Шта нам дају кораци 1–3
После корака 1) и 2) имамо дуж \( AB = a = 3 \) cm. У кораку 3) тачка \( D \) је пресек лука с центром \( A \) и полупречником \( a \) и лука с центром \( B \) и полупречником \( a \). Због тога је \[ AD = a \quad \text{и} \quad BD = a. \] Дакле важи \( AB = AD = BD = a \), па је троугао \( ABD \) једнакостранични. Његови углови су сви \( 60^\circ \), значи \( \angle DAB = 60^\circ \).Шта даје корак 4 (осна симетрија)
У кораку 4) тачка \( C \) је осносиметрична слика тачке \( A \) у односу на праву \( BD \). Осна симетрија чува растојања, а тачке \( B \) и \( D \) леже на оси \( BD \), па се не мењају. Зато је \[ CB = AB = a \quad \text{и} \quad CD = AD = a. \] Осим тога, троугао \( CBD \) је осносиметрична слика троугла \( ABD \), па је и он једнакостранични са страницом \( a \), а \( \angle DCB = \angle DAB = 60^\circ \).Одређивање четвороугла \( ABCD \)
Спајањем дужи из корака 5) добијамо четвороугао \( ABCD \) чије су све четири странице једнаке: \[ AB = BC = CD = DA = a = 3\,\text{cm}. \] Четвороугао коме су све странице једнаке је ромб. Дијагонала \( BD = a = 3 \) cm дели ромб на два једнакострана троугла \( ABD \) и \( CBD \).Углови ромба
Угао код темена \( A \) једнак је углу код темена \( C \): \( \angle A = \angle C = 60^\circ \). Углови код темена \( B \) и \( D \) добијају се спајањем два угла од \( 60^\circ \) (по један из сваког једнакостраничног троугла): \[ \angle B = \angle D = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ. \] Провера: \( 60^\circ + 120^\circ + 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ \). Пошто су углови различити од \( 90^\circ \), реч је о ромбу који није квадрат.Закључак
Маријана је конструисала ромб \( ABCD \) са страницом \( a = 3 \) cm, угловима \( 60^\circ \) и \( 120^\circ \), и краћом дијагоналом \( BD = 3 \) cm.Кратак запис решења:
Троугао \( ABD \) је једнакостранични (\( AB=AD=BD=a \)); рефлексијом \( A \) преко \( BD \) добија се \( C \) са \( CB=CD=a \). Све странице су \( 3 \) cm \(\Rightarrow\) ромб (углови \( 60^\circ \) и \( 120^\circ \)).
