Најважније из лекције
Збирови углова: Унутрашњи: \( \sum \alpha = 360^\circ \); Спољашњи: \( \sum \alpha_1 = 360^\circ \); За свако теме: \( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \).
Хијерархија четвороуглова:
Хијерархија четвороуглова:
- Паралелограм: наспрамне странице паралелне и једнаке, наспрамни углови једнаки, суседни суплементни, дијагонале се полове.
- Ромб: паралелограм са свим једнаким страницама (\( d_1 \perp d_2 \), \( d_1, d_2 \) су симетрале углова).
- Правоугаоник: паралелограм са свим правим угловима (\( d_1 = d_2 \)).
- Квадрат: правилни четвороугао (и ромб и правоугаоник).
- Трапез: један пар паралелних страница; средња линија \( m = \frac{a+b}{2} \). Једнакокраки трапез има једнаке дијагонале и углове на основици.
- Делтоид: два пара једнаких суседних страница (\( d_1 \perp d_2 \), једна дијагонала је оса симетрије, има уписан круг).
Четвороугаона линија је затворена изломљена линија без тачака самопресека коју чине четири дужи такве да никоје две суседне не припадају истој правој. Она дели раван на унутрашњу (ограничену) и спољашњу (неограничену) област.
Четвороугао је геометријска фигура коју чине четвороугаона линија и њена унутрашња област.
Конвексност:
- Конвексан четвороугао: дуж која спаја било које две тачке четвороугла у потпуности припада том четвороуглу (сви унутрашњи углови су мањи од \( 180^\circ \)).
- Неконвексан четвороугао: постоје две тачке четвороугла чија дуж делом излази ван њега.
Основни елементи четвороугла \( ABCD \):
- Темена: \( A, B, C, D \) (суседна: нпр. \( A \) и \( B \); наспрамна: \( A \) и \( C \), \( B \) и \( D \)).
- Странице: \( AB, BC, CD, DA \) (означавају се са \( a, b, c, d \)).
- Дијагонале: дужи које спајају наспрамна темена - \( d_1 = AC \), \( d_2 = BD \).
Обим четвороугла:
\[ O = a + b + c + d \]
Сваком темену четвороугла одговара један унутрашњи угао (\( \alpha, \beta, \gamma, \delta \)) и њему одговарајући суседни спољашњи угао (\( \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 \)).
Унутрашњи и одговарајући спољашњи угао су упоредни (суплементни):
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ, \quad \beta + \beta_1 = 180^\circ, \quad \gamma + \gamma_1 = 180^\circ, \quad \delta + \delta_1 = 180^\circ \]
Повлачењем једне дијагонале четвороугао се дели на два троугла. Пошто је збир углова у сваком троуглу \( 180^\circ \), следи:
Збир унутрашњих углова:
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Збир спољашњих углова:
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне (\( AB \parallel CD \) и \( BC \parallel DA \)).
Основна својства паралелограма:
- Наспрамне странице су једнаке: \( AB = CD \) и \( BC = DA \).
- Наспрамни углови су једнаки: \( \alpha = \gamma \) и \( \beta = \delta \).
- Суседни углови су суплементни: \( \alpha + \beta = 180^\circ \), \( \beta + \gamma = 180^\circ \), итд.
- Дијагонале се међусобно полове (пресечна тачка је средиште обе дијагонале).
Услови да четвороугао буде паралелограм (довољно је да важи било који):
- Свака два наспрамна угла су једнака.
- Свака два суседна угла су суплементна.
- Сваке две наспрамне странице су једнаке.
- Један пар наспрамних страница је и паралелан и једнак.
- Дијагонале се међусобно полове.
| Фигура | Дефиниција | Специфична својства |
|---|---|---|
| Ромб | Паралелограм са свим једнаким страницама (\( a = b = c = d \)). |
|
| Правоугаоник | Паралелограм са свим једнаким (правим) угловима (\( \alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ \)). |
|
| Квадрат | Паралелограм са свим једнаким страницама и свим правим угловима (и ромб и правоугаоник). |
|
Трапез је четвороугао који има тачно један пар паралелних страница.
Паралелне странице се зову основице (\( a \) и \( b \)), а непаралелне странице су краци (\( c \) и \( d \)).
Углови који належу на исти крак су суплементни:
\[ \alpha + \delta = 180^\circ \quad \text{и} \quad \beta + \gamma = 180^\circ \]
Посебне врсте трапеза:
- Једнакокраки трапез: краци су једнаки (\( c = d \)). Углови на истој основици су једнаки (\( \alpha = \beta \), \( \gamma = \delta \)), дијагонале су једнаке (\( d_1 = d_2 \)), има једну осу симетрије и око њега се може описати кружница.
- Правоугли трапез: један крак је нормалан на основице (садржи два права угла).
Средња линија трапеза (\( m \)): дуж која спаја средишта кракова. Паралелна је основицама и једнака њиховом полузбиру.
\[ m = \frac{a + b}{2} \]
Делтоид је четвороугао који има два пара суседних једнаких страница (\( AB = AD \) и \( CB = CD \)).
Особине делтоида:
- Дијагонале су међусобно нормалне (\( AC \perp BD \)).
- Дијагонала \( AC \) (оса симетрије) полови дијагоналу \( BD \) и полови углове код темена \( A \) и \( C \).
- Један пар наспрамних углова је једнак: \( \angle B = \angle D \).
- У сваки делтоид се може уписати кружница (центар је у пресеку дијагонале \( AC \) и симетрала углова).
Вектор је одређен правцем (права на којој лежи), смером (од почетка ка крају) и интензитетом (дужином, \( |\vec{a}| \)). Представља се усмереном дужи \( \vec{AB} \).
Операције са векторима:
- Сабирање (надовезивање): \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \). Важи комутативност: \( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \).
- Супротан вектор (\( -\vec{a} \)): има исти правац и интензитет, а супротан смер. Важи \( \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \).
- Разлика: \( \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \).
- Производ са бројем \( k \): вектор \( k \cdot \vec{a} \) има исти правац, интензитет \( |k| \cdot |\vec{a}| \), исти смер за \( k > 0 \), а супротан за \( k < 0 \).
Средња линија троугла: дуж која спаја средишта две странице троугла. Паралелна је трећој страници и једнака њеној половини:
\[ \vec{s} = \frac{1}{2}\vec{a} \implies s = \frac{a}{2} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): У четвороуглу \( ABCD \) позната су три унутрашња угла: \( \alpha = 65^\circ \), \( \beta = 115^\circ \) и \( \gamma = 80^\circ \).
а) Израчунај четврти унутрашњи угао \( \delta \).
б) Одреди одговарајући спољашњи угао \( \delta_1 \).
а) Израчунај четврти унутрашњи угао \( \delta \).
б) Одреди одговарајући спољашњи угао \( \delta_1 \).
а) Збир унутрашњих углова четвороугла је \( 360^\circ \):
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
\[ 65^\circ + 115^\circ + 80^\circ + \delta = 360^\circ \]
\[ 260^\circ + \delta = 360^\circ \implies \delta = 100^\circ \]
б) Спољашњи угао је суплементан унутрашњем углу:
\[ \delta_1 = 180^\circ - \delta = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]
Одговор: а) \( \delta = 100^\circ \); б) \( \delta_1 = 80^\circ \).
Задатак 2 (Средњи): У једнакокраком трапезу оштар угао на дужој основици износи \( 50^\circ \), а основице су дужина \( a = 14 \text{ cm} \) и \( b = 6 \text{ cm} \).
а) Одреди остале унутрашње углове трапеза.
б) Израчунај дужину средње линије тог трапеза.
а) Одреди остале унутрашње углове трапеза.
б) Израчунај дужину средње линије тог трапеза.
а) Код једнакокраког трапеза углови на истој основици су једнаки:
\[ \alpha = \beta = 50^\circ \]
Углови на истом краку су суплементни:
\[ \delta = \gamma = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \]
б) Средња линија \( m \) једнака је полузбиру основица:
\[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm} \]
Одговор: а) Углови су \( 50^\circ, 50^\circ, 130^\circ, 130^\circ \); б) \( m = 10 \text{ cm} \).
Задатак 3 (Средњи): Један унутрашњи угао ромба је \( 70^\circ \). Израчунај углове које дијагонале ромба образују са његовим страницама.
Нека је \( \alpha = 70^\circ \). Суседни угао ромба је суплементан:
\[ \beta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
Дијагонале ромба леже на симетралама унутрашњих углова, па их полове:
Одговор: Углови између дијагонала и страница су \( 35^\circ \) и \( 55^\circ \).
- Дијагонала \( d_1 \) са страницама код темена са углом \( \alpha \) образује угао: \( \frac{\alpha}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \).
- Дијагонала \( d_2 \) са страницама код темена са углом \( \beta \) образује угао: \( \frac{\beta}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \).
Одговор: Углови између дијагонала и страница су \( 35^\circ \) и \( 55^\circ \).
Задатак 4 (Тежак): У делтоиду \( ABCD \) (\( AB = AD \), \( CB = CD \)) угао при врху \( A \) је \( \angle BAD = 80^\circ \), а угао при врху \( C \) је \( \angle BCD = 40^\circ \).
а) Израчунај мере углова код темена \( B \) и \( D \).
б) Ако је \( O \) пресек дијагонала, одреди углове у правоуглом троуглу \( ABO \).
а) Израчунај мере углова код темена \( B \) и \( D \).
б) Ако је \( O \) пресек дијагонала, одреди углове у правоуглом троуглу \( ABO \).
а) Код делтоида су наспрамни углови \( \angle B \) и \( \angle D \) међусобно једнаки (\( \beta = \delta \)).
Збир свих унутрашњих углова је \( 360^\circ \): \[ 80^\circ + 40^\circ + 2\beta = 360^\circ \implies 120^\circ + 2\beta = 360^\circ \] \[ 2\beta = 240^\circ \implies \beta = \delta = 120^\circ \] б) Дијагонала \( AC \) полови угао код темена \( A \), па је у троуглу \( ABO \): \[ \angle BAO = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \] Пошто се дијагонале секу под правим углом, угао код темена \( O \) је: \[ \angle AOB = 90^\circ \] Трећи угао троугла \( ABO \) је: \[ \angle ABO = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \] Одговор: а) \( \angle B = \angle D = 120^\circ \); б) Углови троугла \( ABO \) су \( 40^\circ, 50^\circ, 90^\circ \).
Збир свих унутрашњих углова је \( 360^\circ \): \[ 80^\circ + 40^\circ + 2\beta = 360^\circ \implies 120^\circ + 2\beta = 360^\circ \] \[ 2\beta = 240^\circ \implies \beta = \delta = 120^\circ \] б) Дијагонала \( AC \) полови угао код темена \( A \), па је у троуглу \( ABO \): \[ \angle BAO = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \] Пошто се дијагонале секу под правим углом, угао код темена \( O \) је: \[ \angle AOB = 90^\circ \] Трећи угао троугла \( ABO \) је: \[ \angle ABO = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \] Одговор: а) \( \angle B = \angle D = 120^\circ \); б) Углови троугла \( ABO \) су \( 40^\circ, 50^\circ, 90^\circ \).
