Најважније из лекције
Директна пропорционалност: Две величине су директно пропорционалне ако је њихов количник увек сталан (\( k = \frac{y}{x} \)).
Формула: Њихова веза се записује као \( y = k \cdot x \). Пример: Ако \( 1 \text{ kg} \) јабука кошта \( 100 \text{ динара} \), онда \( x \text{ kg} \) кошта \( y = 100 \cdot x \text{ динара} \).
График: У координатном систему, зависност ових величина се представља полуправом која полази из координатног почетка \( (0,0) \).
Својство: Колико пута се повећа/смањи једна величина, тачно толико пута се повећа/смањи и друга.
Формула: Њихова веза се записује као \( y = k \cdot x \). Пример: Ако \( 1 \text{ kg} \) јабука кошта \( 100 \text{ динара} \), онда \( x \text{ kg} \) кошта \( y = 100 \cdot x \text{ динара} \).
График: У координатном систему, зависност ових величина се представља полуправом која полази из координатног почетка \( (0,0) \).
Својство: Колико пута се повећа/смањи једна величина, тачно толико пута се повећа/смањи и друга.
Две зависне величине су директно пропорционалне ако је њихов количник (однос одговарајућих вредности) константан.
Ако се једна величина повећа одређени број пута, сразмерно се повећава и друга. Исто важи и за умањивање – смањењем једне, сразмерно се смањује и друга величина.
\[ y = k \cdot x \]
Где је \( k \) коефицијент директне пропорционалности (\( k = \frac{y}{x} \)).
Ако се тело равномерно креће \( 1,5 \text{ m} \) у минути, пређени пут \( s \) и време \( t \) су директно пропорционалне величине. Њихов однос је константан: \( \frac{s}{t} = 1,5 \), односно веза се може записати као \( s = 1,5 \cdot t \).
Ако су величине \( x \) и \( y \) директно пропорционалне и важи \( y = 3 \cdot x \), колика је вредност величине \( y \) када је \( x = 4 \)?
Заменом дате вредности у формулу добијамо:
\( y = 3 \cdot 4 = 12 \)
\( y = 3 \cdot 4 = 12 \)
Парове одговарајућих вредности директно пропорционалних величина погодно је представити у координатном систему.
Све тачке које одговарају паровима ових величина су колинеарне. График зависности две директно пропорционалне величине је полуправа која почиње у координатном почетку \( (0,0) \).
Да бисмо нацртали график за зависност \( m = 0,8 \cdot V \), довољно је да одредимо две његове тачке. Пошто знамо да полуправа обавезно пролази кроз координатни почетак \( (0,0) \), можемо узети још једну вредност, на пример за \( V = 1 \), чиме добијамо \( m = 0,8 \). Спајањем тачака \( (0,0) \) и \( (1; 0,8) \) добијамо тражени график.
Када две директно пропорционалне величине меримо различитим јединицама мере, коефицијент пропорционалности добија изведену јединицу мере (количник јединица којима су мерене полазне величине).
| Величина \( X \) | Величина \( Y \) | Коефицијент \( k = \frac{Y}{X} \) |
|---|---|---|
| Запремина \( V \) у \( \text{cm}^3 \) | Маса \( m \) у \( \text{g} \) | Густина \( \rho = \frac{m}{V} \) у \( \text{g/cm}^3 \) |
| Време \( t \) у \( \text{s} \) | Пређени пут \( s \) у \( \text{m} \) | Брзина \( v = \frac{s}{t} \) у \( \text{m/s} \) |
| Количина робе \( K \) у \( \text{kg} \) | Вредност \( P \) у динарима | Цена \( c = \frac{P}{K} \) у \( \text{дин/kg} \) |
Брзина аутомобила је \( 90 \text{ km/h} \). Да бисмо је претворили у метре у минути (\( \text{m/min} \)), радимо следеће:
\[ 90 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ m}}{60 \text{ min}} = 1500 \frac{\text{m}}{\text{min}} \]
Задаци за вежбање
Лак: Величине \( A \) и \( B \) су директно пропорционалне, а њихов коефицијент пропорционалности је \( 5 \). Напиши формулу њихове зависности и израчунај \( B \) ако је \( A = 6 \).
Формула зависности је: \( B = 5 \cdot A \)
Вредност за \( A = 6 \): \( B = 5 \cdot 6 = 30 \)
Вредност за \( A = 6 \): \( B = 5 \cdot 6 = 30 \)
Средњи: Дати су одговарајући парови директно пропорционалних величина \( X \) и \( Y \): када је \( X = 3 \), тада је \( Y = 12 \). Израчунај коефицијент пропорционалности \( k \) и одреди вредност величине \( Y \) када је \( X = 5 \).
1. Коефицијент пропорционалности се рачуна као количник: \( k = \frac{Y}{X} = \frac{12}{3} = 4 \).
2. Формула зависности је \( Y = 4 \cdot X \).
3. Када је \( X = 5 \), тада је \( Y = 4 \cdot 5 = 20 \).
2. Формула зависности је \( Y = 4 \cdot X \).
3. Када је \( X = 5 \), тада је \( Y = 4 \cdot 5 = 20 \).
Тежак: За изнајмљивање аутомобила плаћа се \( 0,5 \text{ €} \) по сваком пређеном километру. Напиши формулу зависности између суме коју треба платити (\( P \)) у еврима и пређеног пута (\( s \)) у километрима. Колико километара је прешао возач ако је платио \( 55 \text{ €} \)?
1. Формула зависности је: \( P = 0,5 \cdot s \).
2. Ако је плаћено \( P = 55 \text{ €} \), убацујемо ту вредност у формулу: \( 55 = 0,5 \cdot s \).
3. Пређени пут добијамо дељењем: \( s = \frac{55}{0,5} = 110 \text{ km} \).
2. Ако је плаћено \( P = 55 \text{ €} \), убацујемо ту вредност у формулу: \( 55 = 0,5 \cdot s \).
3. Пређени пут добијамо дељењем: \( s = \frac{55}{0,5} = 110 \text{ km} \).
